C.f(a) -f(b) g(a)- g(b)
//2.“极值点”不是“点”,而是方程f(x)?0的根。x0是函数f(x)极值点则f(x0)?0;但是
y y y y O A.
x O B. x O C. x O D.
x f/(x0)?0,x0未必是极值点(还要求函数f(x)在x0左右两侧的单调性相反);若 f/(x0)?0 (或f/(x0)?0)恒成立,则函数f(x)无极值。
[举例1] 已知函数f(x)?13ax?bx2?(2?b)x?1在x?x1处取得极大值,在x?x2处取得3极小值,且0?x1?1?x2?2.(1)证明a?0;(2)若z=a+2b,求z的取值范围。
2解析:函数f(x)的导数f?(x)?ax?2bx?2?b.(Ⅰ)由函数f(x)在x?x1处取得极大值,
在x?x2处取得极小值,知x1,x2是f?(x)?0的两个根.所以f?(x)?a(x?x1)(x?x2);当
x?x1时,f(x)为增函数,f?(x)?0,由x?x1?0,x?x2?0得a?0.
?f?(0)?0?2?b?0??(Ⅱ)在题设下,0?x1?1?x2?2等价于?f?(1)?0 即?a?2b?2?b?0.
?f?(2)?0?4a?4b?2?b?0???2?b?0?化简得?a?3b?2?0.此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线:
?4a?5b?2?0?2?b?0,a?3b?2?0,4a?5b?2?0所围成的△ABC的内部,由“线性规划”的知识容
易求得:z的取值范围为??16?,8?. ?7?322[举例2] 已知函数f(x)?x?ax?bx?a在x?1处有极值10,则f(2)? 解析: f(x)?3x?2ax?b?0,∴f(1)=2a?b?3?0 ①
'2/?a??3?a?4f(1)?1?a?b?a2?10 ② 由①②得:?或?
?b??11?b?3当??a??3'22时,f(x)?3x?6x?3?3(x?1)?0,此时函数f(x)无极值,舍去;
?b?3当??a?4/2时f(x)?3x?8x?11,函数f(x)在x?1处左减右增,有极小值;
?b??11此时∴f(2)?18 。注:在解决“已知函数的极值点求参变量”的问题时,为避免“增根”,需将求出的参变量的值代入f(x)检验其是否为完全平方式,若是则函数无极值(单调),否则有极值;也可以对f(x)再次求导,看f负则有极大值。
[巩固1]已知f(x)?ax?bx?cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(??,0),(1,??)上是减函数,又f?()?32////(x0)的值,为0则无极值,为正则有极小值,为
123.(Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)若在区间[0,m](m>0)上恒有f(x)≤x成立,求m22的取值范围.
[举例2]设函数f(x)?ax?blnx,其中ab?0.证明:当ab?0时,函数f(x)没有极值点;当ab?0时,函数f(x)有且只有一个极值点,并求出极值.(07高考山东文21) 3.求y?f(x)在闭区间内的最值的步骤:(1)求导数f'(x)(2)求导数方程f'(x)=0的根(3)检查f'(x)在根的左右值的符号,列表求得极值;也可通过解不等式f'(x)≥0及
f'(x)≤0确定函数y?f(x)在给定区间内的单调情况,再确定函数的极值;最后将极值与
区间端点的函数值比较以确定最值。
[举例1] 设函数f(x)?2x?3ax?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值.
323],都有f(x)?c成立,求c的取值范围. (Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对于任意的x?[0,2解析:(Ⅰ)f?(x)?6x?6ax?3b,由f?(1)?0,f?(2)?0.解得a??3,b?4.
222(Ⅱ)f(x)?c在[0,3]上恒成立即c?fmax(x),x?[0,3]
由(Ⅰ)可知,f(x)?2x?9x?12x?8c,f?(x)?6x?18x?12?6(x?1)(x?2). 当x?(01),时,f?(x)?0;当x?(1,2)时,f?(x)?0;当x?(2,3)时,f?(x)?0. 即f(x)在[0,1]上递增,[1,2]上递减,[2,3]上递增;∴当x?1时,f(x)取得极大值
322f(1)?5?8c,又f(3)?9?8c.故当x??0,3?时,f(x)的最大值为f(3)?9?8c.
于是有:9?8c?c,解得 c??1或c?9,因此c的取值范围为(??,?1)[举例2] 已知定义在正实数集上的函数f(x)?2(9,??)。
12x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中2a?0.设两曲线y?f(x),y?g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.用a表示b,并
求b的最大值;
解析:设y?f(x)与y?g(x)(x?0)在公共点(x0,y0)处的切线相同.
3a2,由题意f(x0)?g(x0),f?(x0)?g?(x0). ∵f?(x)?x?2a,g?(x)?x?122x?2ax?3alnx0?b,00?23a2?即?由x0?2a?得:x0?a,或x0??3a(舍去). 23ax0?x0?2a?,?x0?即有b?125a?2a2?3a2lna?a2?3a2lna. 221522令h(t)?t?3tlnt(t?0),则h?(t)?2t(1?3lnt).于是当t(1?3lnt)?0,即0?t?e321??时,h?(t)?0;当t(1?3lnt)?0,即t?e时,h?(t)?0.故h(t)在?0,e3?为增函数,
??13?1??1?3233?∞?为减函数,∴h(t)在(0,?∞)的最大值为h?e??e3. 在?e,????2[巩固1] 设函数f(x)?ln(2x?3)?x,求f(x)在区间??,?的最大值和最小值.
44[巩固2] 已知函数f(x)?ax?6ax?b,其图象为曲线C (1) 直线l:y=x+1与曲线C相切于x轴上一点,求的a、b的值
322?31???