发布时间 : 星期六 文章2016年云南省高考数学一模试卷（理科）更新完毕开始阅读
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）（2016?云南一模）设数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，3an﹣2Sn=2． （I）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求证：Sn+2Sn＜
．
【解答】（I）解：∵对任意正整数n，3an﹣2Sn=2，∴3a1﹣2a1=2，解得a1=2． 当n≥2时，3an﹣1﹣2Sn﹣1=2，可得3an﹣3an﹣1﹣2an=0，化为an=3an﹣1， ∴数列{an}是等比数列，公比为3，首项为2．
n﹣1
∴an=2×3．
（2）证明：由（I）可得：Sn=∴Sn+2Sn﹣∴Sn+2Sn＜
=3﹣1．
n
n+1
n
=（3．
n+2
﹣1）（3﹣1）﹣（3﹣1）=﹣4×3＜0，
2n
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18．（12分）（2016?云南一模）某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．
（Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P（A）；
（Ⅱ）设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）∵中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；
高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛， 设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A， 由已知，得
，
所以事件A的概率为．…（5分）
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4． 由已知得
．…（8分）
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
P（X=4）==，
所以随机变量X的分布列为： X 1 P …（10分） 随机变量X的数学期望
2 3 4 ．…（12分）
19．（12分）（2016?云南一模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．
（I）求证：AE⊥BD；
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（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．
【解答】证明：（I）∵AB=AD，E为BC的中点， ∴取BD的中点0， 连接AO，OE，
则OA⊥BD，OE是△BCD的中位线， ∴OE∥CD，
∵CD⊥BD，∴OE⊥BD， ∵BD∩OA=O， ∴AE⊥BD；
（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD， ∵OA⊥BD，∴OA⊥面BCD，
建立以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图： ∵AD=CD=2，BC=4，
∴OA=OB=OD=，OE=1， 则B（0，﹣，0），D（0，，0），E（1，0，0），A（0，0，），C（2，，0）， 则
=（0，
，
），
=（2，
，﹣
），
=（﹣2，0，0），
设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z）， 则
，
令y=1，则z=﹣1，x=﹣，即=（﹣，1，﹣1），
设平面ACD的一个法向量为=（x，y，z）， 则
，
令y=1，则z=1，x=0，则=（0，1，1）， cos＜，＞=
=0，
即＜，＞=90°
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则二面角B﹣AC﹣D的正弦值sin90°=1．
20．（12分）（2016?云南一模）已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4与椭圆E交于A、B两个相异点，且（I）求椭圆E的方程； （Ⅱ）是否存在m，使
+λ
=4
？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由． +
=1（a＞b＞0）， =λ
．
，
，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，
【解答】解：（I）设椭圆的方程为
由题意可得e==a﹣b=c，
解得a=2，b=1，c=即有椭圆的方程为
2
2
2
，4=4，
， +x=1；
2
（Ⅱ）+λ由
+λ
=λ，可得
，
﹣=λ（﹣），
=（1+λ）=4
，可得λ=3，
由题意可得P（0，m），且﹣2＜m＜2，
设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由
=3
，可得﹣x1=3x2，①
2
2
由直线y=kx+m代入椭圆方程y+4x=4，
222
可得（4+k）x+2kmx+m﹣4=0，
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