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教学点睛
本节是圆锥曲线的综合应用，主要是曲线方程的运用、变量范围的计算、最值的确定等，解决这类问题的关键是依据解析几何本身的特点，寻找一个突破口，那么如何找到解决问题的突破口呢？
（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系.（2）建立目标函数，转化为求函数的最值问题.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思.（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.因此，它们的应用价值在于：①通过参数θ简明地表示曲
线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题. （5）构造一个二次方程，利用判别式Δ≥0.
拓展题例
【例1】 （2005年启东市第二次调研题）抛物线y2=4px（p>0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点.
（1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x0，0），求证：x0>3p；
（2）若直线l的斜率依次为p，p2，p3，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，N3，…，当0 111++…+的值. |N10N11||N1N2||N2N3|（1）证明：设直线l方程为y=k（x+p），代入y2=4px. 得k2x2+（2k2p－4p）x+k2p2=0. Δ=4（k2p－2p）2－4k2·k2p2>0， 得0 2k2p?4p4p令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=－，y+y=k（x+x+2p）=， 12122kk2p?k2p2pAB中点坐标为（，）. kk22p?k2p2p1AB垂直平分线为y－=－（x－）. kkk22pk2p?2p令y=0，得x0==p+. 22kk由上可知0 ∴x0>3p. （2）解：∵l的斜率依次为p，p2，p3，…时，AB中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，…（0 ∴点Nn的坐标为（p+ 2p2n?1，0）. |NnNn+1|=|（p+ 2p2n?1）－（p+ 2p2n?12(1?p2)）|=， 2n?1pp2n?11=， 2|NnNn?1|2(1?p)p3(1?p19)13421 所求的值为［p+p+…+p］=. 2(1?p2)2(1?p)2(1?p)y2x2【例2】 （2003年南京市模拟题）已知双曲线C：2－2=1（a＞0，b＞0），B是 ab右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足|OA|、|OB|、|OF|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P. y D OP E AB F lx （1）求证：PA·OP=PA·FP； （2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取 值范围. （1）证法一： y D OP E lx AB F l：y=－y=－y= a（x－c）. ba（x－c）， bbx. aa2a2ab解得P（，）.∵|OA|、|OB|、|OF|成等比数列，∴A（，0）. ccca2abab∴PA=（0，－），OP=（，）， cccb2abFP=（－，）. cca2b2a2b2∴PA·OP=－2，PA·FP=－2. cc∴PA·OP=PA·FP. a2ab证法二：同上得P（，）. cc∴PA⊥x轴， PA·OP－PA·FP=PA·OF=0. ∴PA·OP=PA·FP. y=－（x－c）， b（2）解： b2x2－a2y2=a2b2. aa4∴bx－2（x－c）2=a2b2， b22 a4a4a4c2222 即（b－2）x+22cx－（2+ab）=0. bbb2 a4c2?(2?a2b2)b∵x1·x2=＜0， 4ab2?2b44∴b＞a， 即b2＞a2，c2－a2＞a2. ∴e2＞2，即e＞2.