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3x2y2剖析：设椭圆方程为2+2=1，由e=知椭圆方程可化为x2+4y2=4b2，然后将距离
2ab转化为y的二次函数，二次函数中含有一个参数b，在判定距离有最大值的过程中，要讨论y=－
1是否在y的取值范围内，最后求出椭圆方程和P点坐标. 2x2y2解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是2+2=1，其中a＞b＞0待定.
abc2a2?b231b2b21?由e=2==1－（）可知===，即a=2b. 1?e242aaaa2
y23229设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则d=x+（y－）=a（1－2）+y2－3y+=
24b2
2
91=－3（y+）2+4b2+3，其中－b≤y≤b. 4213如果b＜，则当y=－b时d2（从而d）有最大值，由题设得（7）2=（b+）2，由
22311此得b=7－＞，与b＜矛盾.
222112
因此必有b≥成立，于是当y=－时d2（从而d）有最大值，由题设得（7）=4b2+3，
224b2－3y2－3y+由此可得b=1，a=2.
x22
故所求椭圆的直角坐标方程是+y=1.
4111由y=－及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－3，－），点（3，－）到
222点P的距离都是7.
解法二：根据题设条件，设椭圆的参数方程是
x=acosθ，
0≤θ＜2π， y=bsinθ， 其中a＞b＞0待定，
3， 2∴a=2b.
设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则
12233d2=x2+（y－）2=a2cos2θ+（bsinθ－）2=－3b2·（sinθ+）+4b+3.
222b11如果＞1，即b＜，则当sinθ=－1时，d2（从而d）有最大值，由题设得（7）2=
22b3311（b+） 2，由此得b=7－＞，与b＜矛盾.
2222∵e=
因此必有
1122
≤1成立，于是当sinθ=－时，d（从而d）有最大值，由题设得（7）=4b2+3. 2b2b x=2cosθ，
由此得b=1，a=2.所以椭圆参数方程
y=sinθ.
x223?11消去参数得+y=1，由sinθ=，cosθ=±知椭圆上的点（－3，－），（3，
4222－
1）到P点的距离都是7. 2评述：本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论. 深化拓展
根据图形的几何性质，以P为圆心，以7为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P的
距离为7，此时的椭圆和切点即为所求.读者不妨一试.
x2+（y－）2=7，
2提示：由
22
x+4y=4b2， 得3y2+3y－
39=4b2－7， 4由Δ=0得b2=1，
即椭圆方程为x2+4y2=4. 所求点为（－3，－
11）、（3，－）. 22●闯关训练
夯实基础
1.（2005年北京东城区目标检测）以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为
10?2 35?1C.
2A.
5?1 310?2 D.
2 B.
解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e=答案：D
10?2. 2x2y22.已知F1（－3，0）、F2（3，0）是椭圆+＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，当
mn2π∠F1PF2＝时，△F1PF2的面积最大，则有
3A.m=12，n=3 B.m=24，n=6
3C.m=6，n= D.m=12，n=6
2解析：由条件求出椭圆方程即得m=12，n=3. 答案：A
3.（2005年启东市第二次调研）设P1（2，2）、P2（－2，－2），M是双曲
1上位于第一象限的点，对于命题①|MP2|－|MP1|=22；②以线段MP1为直径的圆与x2圆x2+y2=2相切；③存在常数b，使得M到直线y=－x+b的距离等于|MP1|.其中所有正
2线y=
确命题的序号是____________.
解析：由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及|MP1|可知正确.
答案：①②③
4.（2004年全国Ⅱ，15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.
解析：双曲线中，a=
1c=b，∴F（±1，0），e==2.∴椭圆的焦点为（±1，0），2a离心率为
2.∴长半轴长为2，短半轴长为1. 2x22
∴方程为+y=1.
2x22
答案：+y=1
25.（1）试讨论方程（1－k）x2+（3－k2）y2=4（k∈R）所表示的曲线；
y2x2（2）试给出方程2+=1表示双曲线的充要条件.
k?k?66k2?k?1解：（1）3－k2>1－k>0?k∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆； 1－k>3－k2>0?k∈（－3，－1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；1－k=3－k2>0?k=－1，表示的是一个圆；（1－k）（3－k2）<0?k∈（－∞，－3）∪（1，3），表示的是双曲线；k=1，k=－3，表示的是两条平行直线；k=3，表示的图形不存在.
（2）由（k2+k－6）（6k2－k－1）<0?（k+3）（k－2）（3k+1）（2k－1）<0?k∈（－3，－
11）∪（，2）. 326.（2003年湖北八市模拟题）已知抛物线y2=2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点.
yA OB x （1）求证：点A、B关于x轴对称； （2）求△AOB外接圆的方程. （1）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2）， ∵|OA|=|OB|，∴x12+y12=x22+y22. 又∵y12=2px1，y22=2px2，
∴x22－x12+2p（x2－x1）=0， 即（x2－x1）（x1+x2+2p）=0.
又∵x1、x2与p同号，∴x1+x2+2p≠0. ∴x2－x1=0，即x1=x2.
由抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称. （2）解：由（1）知∠AOx=30°，则 y2=2px， x=6p，
∴ 3y=x y=23p.
3∴A（6p，23p）.
方法一：待定系数法，△AOB外接圆过原点O，且圆心在x轴上，可设其方程为x2+y2+dx=0.
将点A（6p，23p）代入，得d=－8p.
故△AOB外接圆方程为x2+y2－8px=0.
方法二：直接求圆心、半径，设半径为r，则圆心（r，0）. 培养能力 7.（理）（2004年北京，17）如下图，过抛物线y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0） （y0＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）.
（1）求该抛物线上纵坐标为
p的点到其焦点F的距离； 2yPOAxB （2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求率是非零常数.
解：（1）当y=
y1?y2的值，并证明直线AB的斜y0pp时，x=. 28p， 2又抛物线y2=2px的准线方程为x=－由抛物线定义得 所求距离为
pp5p－（－）=.
882（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.
由y12=2px1，y02=2px0， 相减得（y1－y0）（y1+y0）=2p（x1－x0）， 故kPA=
y1?y02p=（x1≠x0）.
x1?x0y1?y0