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8.7 圆锥曲线的综合问题
●知识梳理
解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识.反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的.
具体来说，有以下三方面：
（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法.有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口.
（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识.
（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题.在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号.
●点击双基
1.（2005年春季北京，5）设abc≠0，“ac>0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
解析：ac>0曲线ax2+by2=c为椭圆. 反之成立. 答案：B
2.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是 A.椭圆 B.AB所在直线 C.线段AB D.无轨迹
解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB：y=答案：C
3.若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则A.1 C.－
4x，其中0≤x≤3. 3y的最小值为 x?2 B.－1 D.以上都不对
233
解析：
y的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相切x?2时取得最值，设直线y=k（x－2）代入椭圆方程（4+k2）x2－4k2x+4k2－4=0.
令Δ=0，k=±∴kmin=－
233.
233.
答案：C
4.（2005年春季上海，7）双曲线9x2－16y2=1的焦距是____________.
y2x211解析：将双曲线方程化为标准方程得－=1.∴a2=，b2=，
119169161125c2=a2+b2=+=.
91614455∴c=，2c=.
6125答案：
65.（2004年春季北京）若直线mx+ny－3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的x2y2关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆+=1
73的公共点有____________个.
解析：将直线mx+ny－3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得 （m2+n2）y2－6ny+9－3m2=0. 令Δ<0得m2+n2<3. 又m、n不同时为零， ∴0 由0 答案：0 【例1】 （2005年春季北京，18）如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a>0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点. lyMOb N a x （1）写出直线l的截距式方程； （2）证明： 111+=； y1y2b（3）当a=2p时，求∠MON的大小. 剖析：易知直线l的方程为 y?y2111xy+=1，欲证+=，即求1的值，为此只需 y1y2by1y2ab求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得 111+=.由OM·ON=0易得∠MON=90°.亦可由kOM·kON=－1求得∠MON=90°. y1y2b（1）解：直线l的截距式方程为① （2）证明：由①及y2=2px消去x可得by2+2pay－2pab=0. ② 点M、N的纵坐标y1、y2为②的两个根，故y1+y2= xy+=1. ab ?2pa，y1y2=－2pa. b?2pay?y2111所以+=1=b=. y1y2y1y2?2pab（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2， 则k1= y1y，k2=2. x2x1当a=2p时，由（2）知，y1y2=－2pa=－4p2， 由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2， x1x2= (y1y2)24p2(4p2)22==4p， 4p2y1y2?4p2因此k1k2===－1. 2x1x24p所以OM⊥ON，即∠MON=90°. 评述：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力. x2y2【例2】 （2005年黄冈高三调研考题）已知椭圆C的方程为2+2=1（a>b>0），双 aby2x2曲线2－2=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2 ab交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.（如下图） y l P l 2A OB F x l 1 （1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程； （2）当FA=λAP时，求λ的最大值. 剖析：（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60°易得线的距离为4易得a2+b2=4，进而可求得a、b. （2）由FA=λAP，欲求λ的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l1的交点，故需求l的方程.将l与l2的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标.将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值. 解：（1）∵双曲线的渐近线为y=±又 3b=，由双曲a3bx，两渐近线夹角为60°， ab<1， a3b=tan30°=. 3a∴∠POx=30°，即∴a=3b. 又a2+b2=4， ∴a2=3，b2=1. x22 故椭圆C的方程为+y=1. 3a2abab（2）由已知l：y=（x－c），与y=x解得P（，）， cbacaba2??c???c）. c，由FA=λAP得A（ 1??1??将A点坐标代入椭圆方程得 （c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2. ∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2. 2e4?e2∴λ=2=－［（2－e2）+］+3≤3－22. 22?ee?22 ∴λ的最大值为2－1. 评述：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应 用.解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想.本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题. 【例3】 设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e= 33，已知点P（0，）22到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标.