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分析与解：由于斜面光滑，故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点，则
对状态A：
对状态B：
由机械能守恒定律得：
例2、如图4所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以V0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。
分析与解：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹性图4
2
势能的零参考点，则状态A：EA= mgh+mV0/2
对状态B：EB=－W弹簧+0
2
由机械能守恒定律得： W弹簧=－（mgh+mv0/2）=－125（J）。
小结：对于涉及弹簧弹力做功的试题，一般我们都可以用机械能守恒定律求功。 第八、 功能原理法
1、功能原理：如果除重力和弹力之外的其他力对物体也做功，系统的机械能将不再守恒，而且这些力做了多少功、系统就有多少机械能发生转化，这时，除系统内重力和弹力以外的其他力对系统所做功的代数和等于系统机械能的增量。若只有重力和弹力做功的系统内，则机械能守恒（即为机械能守恒定律）。
2、基本思路：如果这些力是变力或只有一个变力做功，而其他力对物体做的功和系统机械能的变化量容易求得，就可以用功能原理求解变力做功问题。
3、基本方法：在涉及重力、弹力之外的变力做功问题时，只要系统的机械能的变化容易求得，用功能原理求解该变力所做的功比较方便
例1：如图所示，面积很大的水池，水深为H水面浮着一正方体木块，木块边长为a，
1密度为水的，质量为m，开始时，木块静止，现用力F将
2木块缓慢往下压，求从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力F所做的功。
a 【解析】因为水池面积很大，故木块压入水中所
引起的水深变化可忽略，木块刚好完全没入水中时，
a木块下方深度为空间内的水被排开，结果等效于使这部
2分水平铺于水面，这部分水的质量为m，其势能的增加量为：
H 13
?E水?mg木块下降
33a?mga 44a的高度，其势能的增加量为： 2?E木??mga1??mga 22根据功能关系，力F所做的功为系统势能的增加量：
1W??E水＋?E木＝mga
4例2： 如图1所示，质量为m的物体从A
的速度 ， 求物体
点沿半径为R的粗糙半球内表面以开始下滑，到达B点时的速度变为
从A运动到B的过程中产生了多少热量。
【解析】以AB为零势能点，
则由A运动到B的过程中机械能变化为，
则由功能原理， 由机械能转化为热能
例3：两个底面积都是S的圆筒,放在同一水平面上,桶内装水,水面高度分别为h1和h2,如图所示,已知水的密度为ρ.现把连接两桶的 阀门打开,最后两桶水面高度相等,则这过程中 重力所做的功等于 .
h1 h2 图5 A B h1 h2 图6
【解析】由于水是不可压缩的,把连接两
桶的阀门打开到两桶水面高度相等的过程
中,利用等效法把左管高以上部分的水等效 地移至右管,如图中的斜线所示.最后用功能关系, 重力所做的功等于重力势能的减少量, 选用AB所在的平面为零重力势能平面,则画 斜线部分从左管移之右管所减少的重力势能为:
Ep1?Ep2?(h1?h2h?hh?hh?h1)?gS(12)?(12)?gS(12)??gS(h1?h2)224244所以重力做的功
WG?1?gS(h1?h2)24O A B 例4：如图所示,在长为L的轻杆中点 A和端点B各固定一质量均为m的小 球,杆可绕无摩擦的轴O转动,使杆从水
平位置无初速释放摆下.求当杆转到竖直 VA
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位置时,轻杆对A、B两球分别做了多少功?
VB
【解析】设当杆转到竖直位置时,A球和B球的速度分别为VA和VB.如果把轻杆、地球、
两个小球构成的系统作为研究对象,那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零,故系统机械能守恒.若取B的最低点为零重力势能参考平面,可得:
2mgL?111mVA2?mVB2?mgL222又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同,故VB＝2VA
由以上二式得： VA?
3gL12gL,VB?55根据功能关系可解出杆对A、B做的功.
12WA?mVA?mgL/2??0.2mgL2
12WmVB?mgL?0.2mgLB对于B有 2对于A有
例5： 如图4所示，将一个质量为m，长为a，宽为b的矩形物体竖立起来的过程中，
人至少需要做多少功？
图4
分析：在人把物体竖立起来的过程中，人对物体的作用力的大小和方向均未知，无法应用W?Flcos?求解。
该过程中，物体要经历图4所示的状态，当矩形对角线竖直时，物体重心高度最大，重心变化为：
?h?12?a2?b2?b
?由功能原理可知W外??EP??Ek 当?Ek?0时，W外最小，为：
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W外??Ep?mg?h?1mg2?a2?b2?b。
?例6：一个圆柱形的竖直井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的。在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底。在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动。如图3所示，现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动。已知圆管半径r=0.10m，井的半径R=2r，水的密度ρ=1.00×103kg/m3 ，大气压P0=1.00×105Pa ，求活塞上升H=9.00m的过程中拉力所做的功（井和管在水面上及水面下的部分都足够长，不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g=10m/s2）。 【解析】大气压P0能够支撑的水柱高度为 h0?p0?10m ?g从开始提升到活塞至管内外水面高度差为10m的过程中，活塞始终与水面接触，设活塞上升h1，管外液面下降h2，则有：h0?h1?h2
. F . h2?r21??因液体体积不变，有： 22h1?R??r3得 h1?3h0?7.5m?H 4此过程拉力为変力，根据功能关系，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量等于除重力以外其它力做功。根据题意，则拉力做功等于水的重力势能的增量，即：
h?h2 W1??E???rh1g1?1.18?104J
222图3
活塞从h1上升到H的过程中，液面不变，拉力F是恒力，F??rP0，则做功为： W2?F(H?h1)??rP0(H?h1)?4.71?10J 所求拉力所做的总功为：W?W1?W2?1.65?10J
423第九. 能量守恒法
例5. 如图5所示，一劲度系数
的轻弹簧两端各焊接着一个质量为
的物体。A、B竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A
上，使A开始向上做匀加速运动，经0.4s，B刚要离开地面。设整个过程弹簧都处于弹性限度内（g取
）求：
（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。 （2）此过程中力F所做的功。
分析与解：（1）设A上升前，弹簧的压缩量为要离开地面时弹簧的伸长量为
，B刚
，A上升的加速度为。
A原来静止时，因受力平衡，有：
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