发布时间 : 星期日 文章解圆锥曲线问题常用方法更新完毕开始阅读
解圆锥曲线问题常用方法（二）
【学习要点】
解圆锥曲线问题常用以下方法：
4、数形结合法
解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。
如“2x+y”，令2x+y=b，则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x+y”,令x2?y2?d，则d表示点P
2
2
（x，y）到原点的距离；又如“
5、参数法
y?3y?3”，令=k，则k表示点P（x、y）与点A（-2，3）这两点连线的斜率…… x?2x?2（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。除设P（x1,y1）外，也可直接设P（2y,-1,y1） （2）斜率为参数
当直线过某一定点P(x0,y0)时，常设此直线为y-y0=k(x-x0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。
（3）角参数
当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。 6、代入法
这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P1,P2求（或求证）目标Q”，方法1是将条件P1代入条件P2，方法2可将条件P2代入条件P1，方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。 【典型例题】
例1：已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上任一点，求S=a2?b2?4a?6b?13的最小值。 分析：由此根式结构联想到距离公式， 解：S=(a?2)?(b?3)设Q(-2,3), 则S=|PQ|,它的最小值即Q到此直线的距离 ∴Smin
22|?2?2?3?1|5?35 5点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题（注：可令根式内为t消元后，它是一个一元二次函数）
例2：已知点P(x,y)是圆x+y-6x-4y+12=0上一动点，求解：设O（0，0），则y=kx,即kx-y=0
22
y的最值。 xyy表示直线OP的斜率，由图可知，当直线OP与圆相切时，取得最值，设最值为k，则切线：xx圆(x-3)+(y-2)=1,由圆心（3，2）到直线kx-y=0的距离为1得
22
|3k?2|k?12?1,
∴k?3?3 4∴?3?3?y?3?3?y? ?,????44?x?min?x?maxx2y2??1的斜率为1的弦，求a的取值范围. 例3：直线l：ax+y+2=0平分双曲线169分析：由题意，直线l恒过定点P(0,-2)，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹，再求轨迹上的点M与点P
的连线的斜率即-a的范围。
解：设A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线上的点，且AB的斜率为1，AB的中点为M(x0,y0)
?x12y12??1?① ?169则： ?
22 ?x2?y2?1② ??169xyx21?x22y21?y22??0,即0?0?1?0 ①-②得
169169即M(X0,y0)在直线9x-16y=0上。 由 9x-16y=0 得C?????167,?9??169??,??,D??? 7??77?x2y2??1 169∴点M的轨迹方程为9x-16y=0(x<-
167167或x>) 77?2?kPD=
977?9?27,kPD?16?2?0?977?9?27 160?1616?9?279??99?27????由图知，当动直线l的斜率k∈??16,16???16,16?时，l过斜率为1的弦AB的中点M，而k=-a
????∴a的取值范围为：???9?279??927?9?? ,?????,???1616??1616???点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的，由图得知，弦AB中点轨迹并不是一条直线（9x-16y=0），而是这条直线上的两条射线（无端点）。再利用图形中的特殊点（射线的端点C、D）的属性（斜率）说明所求变量a的取值范围。
例4：过y=x上一点A（4，2）作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点。求证：直线BC的斜率是定值。 分析：（1）点A为定点，点B、C为动点，因直线AB、AC的倾斜角互补，所以kAB与kAC相反，故可用“k参数”法，设AB的斜率为k，写出直线AB的方程，将AB的方程与抛物线方程联立，因A为已知交点，则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点B坐标，同理可得点C坐标，再求BC斜率。
（2）因点B、C在抛物线上移动，也可用“点参数”法，设B（x1,y1）,C(x2,y2),因x1=y1,x2=y2,即可设B（y1,y1）,C(y2,y2)。再考虑kAB=-kAC得参数y1,y2的关系。 解法1：设AB的斜率为k，则AC的斜率为-k AB：y-2=k(x-4),与y=x联立得： y-2=k(y-4),即ky-y-4k+2=0 ∵y=2是此方程的一解， ∴2yB=
2
2
2
2
2
2
2
2
?4k?21?2k ,yB?kk1?4k?4k2, xB=y=2k2B
?1?4k?4k21?2k?? ∴B? ,2??k?k??1?4k?4k21?2k?? ∵kAC=-k,以-k代替k代入B点坐标得C? ,2???kk??1?2k1?2k?1kk?? ∴kBC=为定值 2241?4k?4k1?4k?4k?kk2?解法2：设B（y1,y1）,C(y2,y2)，则 kBC=
2
2
y2?y1y2?y122?1
y2?y1 ∵kAB=
y1?2y2?211 ?,k??AB22y1?4y1?2y2?4y2?2 由题意，kAB=-kAC, ∴
11??,则y1?y2??4 y1?2y2?2则：kBC=?1为定值。 4点评：解法1运算量较大，但其方法是一种基本方法，因k的变化而造成了一系列的变化，最终求出BC的斜率为定值；解法2利用点B，C在抛物线上设点，形成含两个参数y1,y2的问题，用整体思想解题，运算量较小。
例5：在圆x+y=4上，有一定点A（2，0）和两动点B，C（A，B，C按逆时针排列），当B，C两点保持∠BAC=y2
2
?时，3求△ABC的重心的轨迹。
2??分析：圆周角∠BAC=可转化为圆心角∠BOC=，选用“角参数”， 332?2?令B（2cosθ，2sinθ）则C(2cos(θ+),2sin(θ+))
33则重心可用θ表示出来。
B0AxC2??，∴∠BOC=
334?2?2? 设B（2cosθ,2sinθ）(0<θ<),则C(2cos(θ+),2sin(θ+))
333解：连OB，OC，∵∠BAC= 设重心G（x，y），则：
12?)]
3312? y=[0?2sin??2sin(??)]
332?3?即： x=[1?cos(??)] x?1?cos(??)
33232?3? y=sin(??) y?sin(??)
3323??5?) θ+?(,33333212∴(x?1)?(y)?1。（x<）
22222412即(x?)?y?(x?)
392??5?点评：要注意参数θ的范围，θ+∈（，）它是一个旋转角，因此最终的轨迹是一 段圆弧，而不是一个圆。
333 x=[2?2cos??2cos(??