发布时间 : 星期二 文章2020年高考数学（文）之纠错笔记专题08 立体几何更新完毕开始阅读
于确定平面问题，在应用公理2及其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件.
1．证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有： ①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；
②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.
2．证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.
3．证明点或线共面问题，主要有两种方法：
①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内； ②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.
6．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：（1）D，B，F，E四点共面；
（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
【解析】（1）如图，连接B1D1.
∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1. 在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.
∴EF、BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
（2）正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β. ∵Q?A1C1，∴Q?α.又Q?EF，∴Q?β.
则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点， ∴α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，∴R?A1C. ∴R?α，且R?β，则R?PQ. 故P，Q，R三点共线．
易错点7 忽略空间角的范围或不能正确找出空间角致误
如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成
的角为30°，则BC与AD所成的角为 .
【错解】120°
如图，连接BD，并取中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故?ENM为BC与MN所成的角，∠MEN为BC与AD所成的角，∴∠ENM=30°.又由AD=BC，知ME=EN，∴∠EMN=∠ENM=30°， ∴?MEN?180??30??30??120?，即BC与AD所成的角为120°.
【错因分析】在未判断出∠MEN是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是0???90，如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线
oo所成的角.
【试题解析】以上同错解，求得∠MEN=120°，即BC与AD所成的角为60°. 【参考答案】60°
求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是0o???90o.
1．求异面直线所成的角的常见策略： （1）求异面直线所成的角常用平移法．
平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．
（2）求异面直线所成角的步骤
①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； ③三求：解三角形，求出作出的角．
如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. （3）判定空间两条直线是异面直线的方法
①判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线． ②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 2．求直线与平面所成的角的方法： （1）求直线和平面所成角的步骤 ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； ③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． （2）求线面角的技巧
在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 3．求二面角大小的步骤：
简称为“一作二证三求”．
作平面角时，一定要注意顶点的选择．
7．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，若AB?BC?1，BB1?2，则异面直线A1B和AD1所成角的余弦值为
A．10 102 2 B．
3 54 5
C． D．
【答案】D
【解析】连接D1C，由题得A1D1//BC ，故四边形A1BCD1是平行四边形，A1B//D1C，则?AD1C的余弦值即为所求，由AB?BC?1，BB1?2可得AD1?DC?5，AC?1故有(2)2?(5)2?(5)2?2?5?5cos?ADC，解得cos?AD1C?1故选D.
【名师点睛】本题考查异面直线的夹角的余弦值和余弦定理，常见的方法是平移直线，让两条直线在同一平面中，再求夹角的余弦值.
2，
4， 5