发布时间 : 星期六 文章必修4第三章三角恒等变形（专题复习用）更新完毕开始阅读
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必修（4）第三章 三角恒等变换
第2课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式 考情分析 掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切)，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．
ππ4241. 已知sinα＝－，α∈?－，?，则sin2α＝__________．答案：－
525?22?πππ43
解析：∵ sinα＝－，α∈?－，?，∴ α∈?－，0?，cosα＝.
55?22??2?∴ sin2α＝2sinαcosα＝－
24
. 25
35，则cos2α＝________．答案：－ 33
考点新知 能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思想的应用. 2. 已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝解析：∵ sinα＋cosα＝
312，∴ (sinα＋cosα)2＝，∴ 2sinαcosα＝－， 333
23
即sin2α＝－.∵ α为第二象限角且sinα＋cosα＝>0，
33
π33
∴ 2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，∴ 4kπ＋π<2α<4kπ＋π(k∈Z)，∴ 2α为第
242三象限角，∴ cos2α＝－1－sin22α＝－
5
. 3
π37
3. 若sin(＋θ)＝，则cos2θ＝________．答案：－
2525
π337
解析：∵ sin?＋θ?＝，∴ cosθ＝，∴ cos2θ＝2cos2θ－1＝－.
525?2?54.函数f(x)＝sinxcosx的最小正周期是________．答案：π 2π1
解析：∵ f(x)＝sinxcosx＝sin2x，∴ T＝＝π.
225. 若
5π7πα
≤α≤，则1＋sinα＋1－sinα＝________．答案：－2sin 222
5π7π5πα7π
≤α≤，∴ ≤≤.∴ 22424
1＋sinα＋1－sinα＝2
解析：∵
αα
1＋2sincos＋22
αα
1－2sincos＝
22?sinα＋cosα?＋
2??2
2
?sinα－cosα?＝－?sinα＋cosα?－
2?2??2?2
?sinα－cosα?＝－2sinα.
22??2
1. 二倍角公式
1
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sin2α＝2sinαcosα； cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan2α＝2. 降幂公式
1－cos2α1＋cos2αsin2αsin2α＝； cos2α＝； sinαcosα＝．
222经典例题及变式讲解——师生互动完成
题型1 化简求值
例1 计算：(tan10°－3)·sin40°.
2tanα．
1－tan2α2（sin10°cos60°－cos10°sin60°）sin40°?sin10°－3cos10°?
解：原式＝?·sin40°＝ ?cos10°cos10°??－2sin50°sin40°－2sin40°cos40°－sin80°＝＝＝＝－1.
cos10°cos10°cos10°
变式训练
计算：sin50°(1＋3tan10°)． 解：原式＝sin50°?1＋＝2sin50°·＝2sin50°·
??cos10°＋3sin10°3sin10°?
＝sin50°· ?cos10°cos10°?
sin30°cos10°＋cos30°sin10°
cos10°
sin40°2cos40°sin40°sin80°
＝＝＝1.
cos10°cos10°cos10°
题型2 给值求值
π1
例2 已知α∈?0，?，tanα＝，求：
22??(1) tan2α的值； (2) sin?2α＋
?
π?
的值． 3?
2tanα14
解：(1) 因为tanα＝，所以tan2α＝＝. 221－tanα3
π43
(2) 因为α∈?0，?，所以2α∈(0，π)．又tan2α>0，所以sin2α＝，cos2α＝.
552??所以sin?2α＋
?
ππ413π?34＋33
＝sin2αcos＋cos2αsin＝3＋3＝.
335252103?
变式训练 已知α＋β＝
3π1
，则cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ＝________．答案： 42
1＋cos2α1＋cos2β1
解析：原式＝＋＋2cosαcosβ＝1＋(cos2α＋cos2β)＋2cosαcosβ
222＝1＋cos(α＋β)cos(α－β)＋＝1－
2
[cos(α＋β)＋cos(α－β)] 2
22?212?cos(α－β)＋3－＋cos(α－β)＝. 22?2?22题型3 给值求角
11
例3 已知α、β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．
27
2
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11
－27tan（α－β）＋tanβπ1
解：∵ tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴ 0<α<.
11321－tan（α－β）tanβ
1＋32712332tanαπ3
∵ tan2α＝＝>0，∴ 0<2α<， 2＝2
421－tanα1?1－??3?
31＋47tan2α－tanβ1
∴ tan(2α－β)＝＝＝1. ∵ tanβ＝－<0，
3171＋tan2αtanβ
1－347∴
π3π<β<π，－π<2α－β<0，∴ 2α－β＝－. 24
变式训练
θθθ已知θ是第三象限角，|cosθ|＝m，且sin＋cos>0，求cos.
222
θ
解：∵θ为第三象限角，|cosθ|＝m，∴为第二或四象限角，cosθ＝－m.
2θθθθ
∵sin＋cos>0，∴为第二象限角，∴cos＝－
2222题型4 二倍角公式的应用 例4 .已知函数f(x)＝4sinxcos(x＋
1＋cosθ
＝－2
1－m
. 2
π
)＋3. (1) 求f(x)的最小正周期； (2) 求f(x)在区间3
?－π，π?上的最大值和最小值及取得最值时x的值． ?46?
ππ
解：(1) f(x)＝4sinx(cosxcos－sinxsin)＋3＝2sinxcosx－23sin2x＋3
33＝sin2x＋3cos2x＝2sin?2x＋
?
2ππ?. 所以T＝＝π.
23?ππππ2ππ1
(2) 因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，所以－≤sin?2x＋?≤1，
4663323??所以－1≤f(x)≤2，
ππππππ
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－1，当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2.
3643212变式训练
已知函数f(x)＝－2sin2x＋23sinxcosx＋1.
ππ
(1) 求f(x)的最小正周期及对称中心； (2) 若x∈?－，?，求f(x)的最大值和最小值．
?63?[审题视点] 逆用二倍角公式，化为正弦型函数再求解． 解：(1) f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin?2x＋
2ππ?
，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.令
26?
?
sin?2x＋
?
kπππ?kππ?(k∈Z)． ＝0，则x＝－(k∈Z)，所以f(x)的对称中心为?－，02126??212?
3
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ππ5ππππ1
(2) 因为x∈?－，?，所以－≤2x＋≤.所以－≤sin?2x＋?≤1，所以－
66626??63??ππ
1≤f(x)≤2.所以当x＝－时，f(x)的最小值为－1；当x＝时，f(x)的最大值为2.
66
定时训练
π
1. (2013·四川)设sin2α＝－sinα，α∈?，π?，则tan2α＝________．答案：3
?2?π
解析：由sin2α＝－sinα，得2sinαcosα＝－sinα.又α∈?，π?，故sinα≠0，
?2?13
于是cosα＝－，进而sinα＝，于是tanα＝－3，
22∴ tan2α＝
2tanα23（－3）
＝3. 2＝1－tanα1－3
24
7
2. 已知向量a＝(sinθ，cosθ)，b＝(3，－4)，若a∥b，则tan2θ＝______ 答案：－解析：∵ a∥b，∴ －4sinθ－3cosθ＝0， 2tanθ3∴ tanθ＝－，从而tan2θ＝＝
41－tan2θ
24＝－. 73
－?1－??4?
2
3－?23??4?ππ41723. 设α为锐角，若cos?α＋?＝，则sin(2α＋)＝__________．答案：
12506?5?π4324
解析：设α＋＝θ，cosθ＝，sinθ＝，sin2θ＝2sinθcosθ＝，
65525cos2θ＝2cos2θ－1＝
ππ172ππ7
， sin?2α＋?＝sin?2θ－?＝sin2θ·cos－cos2θ·sin＝. 25445012?4???
π21
4. (2013·贵州)已知sin2α＝，则cos2?α＋?＝________．答案：
364??
π1π211
解析：因为sin2α＝，所以cos2?α＋?＝3?1＋cos2?α＋??＝(1－sin2α)＝. 364?2?4??2??1π3π7
5. 已知sinθ＋cosθ＝，且≤θ≤，则cos2θ＝________．答案：－
52425
11249
解析：将sinθ＋cosθ＝两边平方，得sinθcosθ＝－，所以(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝，
525257π3π7
则sinθ－cosθ＝±.又≤θ≤，所以cosθ＜0，sinθ＞0，所以sinθ－cosθ＝，
52457
故cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ)＝－.
25π2π17＋α?＝，则cos?－2α?＝________．答案：－ 6. 已知sin??6?3?3?9
ππππ177＋α?＝，得cos2?＋α?＝1－2sin2?＋α?＝，即cos?＋2α?＝， 解析：由sin??6?3?6??6?9?3?92ππ7－2α?＝cos?π－?＋2α??＝－. 所以cos??3???3??9
4
坚持还是放下？相信你会选择坚持！学习快乐。。。