发布时间 : 星期五 文章函数项级数的一致收敛判别论文更新完毕开始阅读
黄冈师范学院本科学位论文
教材中为我们提供了函数项级数一致收敛的几种基本的判别方法,为我们解决这一类问题提供了条件；然而,在实际应用中,我们会遇到一些问题,单纯靠这些基本方法是难以解决的,因此,我们需要寻求其他的判别方法。
3.2 其它判别方法
在熟悉以上常规的判别法以后,在处理一些问题时还会用到其它的判别法, 例如：两边夹判别法、比较判别法、单调判别法、一致L条件判别法、导数判别 法、点列判别法等,下面将一一介绍. 3.2.1 定理9（两边夹判别法）
对任意自然数n和x?D,都有un(x)?vn(x)?wn(x)成立且?un(x),?wn(x) 均在点集D上一致收敛于s(x),则?vn(x)也在点集D一致收敛于s(x).
证明 设
??k?1k?1n?1???n?1n?1Un(x)??uk(x),Vn(x)??vk(x),Wn(x)??wk(x)??n?N?,?x?I都有
k?1?un(x)?vn(x)?wn(x),所以对?n?N?,?x?I有un(x)?vn(x)?wn(x),又级数
?un?1?n(x),?wn(x)在I上一致收敛于s(x),即
n?1?s(x)???Un(x)?Vn(x)?Wn(x)?s(x)??
由函数项级数一致收敛定义知,?un(x)在I上也一致收敛于s(x) 3.2.2 定理10（单调判别法）
n?1?在讨论级数的和函数单调条件下,加上若干条件,可推出函数项级数的Dini定理.
设级数?un(x)的每一项在有界闭区间[a,b]上连续且非负,如果它的和函数S(x)也在[a,b]上连续,那么该级数在[a,b]上一致收敛.
证明 用Sn(x)记级数的部分和,由于un(x)?0,故对每个给定的x,Sn(x) 是单调增的数列.记
rn(x)?S(x)?Sn(x)（n?1,2…）, ⑷ 则rn(x)是非负的单调减得数列.我们要证明rn(x)在[a,b]上一致趋于0.如果不是这样,那么存在某个??0,不论n多大,总能在[a,b]找到这样的点xn,使得 rn(xn)??（n?1,2…）,
{xn}既然是[a,b]中的一个点列,那么根据维尔斯特拉斯定理,从它中间能挑出一
n?1?个收敛的子列xnk,x0?[a,b],则根据rm(x)的连续性,我们有：
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函数项级数的一致收敛判别法探究
limxnk?x0 limrm(xnk)?rm(x0)(m?1,2...) ⑸
k??k??另一方面,对于任意给定的m,总能找到充分大的k,nk?m.于是,对于任意给定的x,就有rm(x)?rnk(x),特别有rm(xnk)?rnk(xnk).因而由⑷得 rm(xnk)??, 令k??,就得
rm(x0)? ?（m?1,2…）. 但⑸知,
rm(x0)＝S(x0)?Sm(x0)?0 （m??）,
矛盾,从而证明了级数在[a,b]上一致收敛于S(x).
（注：如果把定理中的有界闭区间[a,b]换成开区间或者无穷区间,结论就可能不
?1成立.例如级数?xn的每一项在区间[0,1)中非负且连续,它的和函数也在
1?xn?0[0,1)中连续,但该级数在[0,1)中并不一致收敛）
例7 证明函数项级数?x2n(lnx)2在区间(0,1]上一致收敛.
?2n?解 设该级数?x(lnx)的和函数为S(x),则S(1)?0,且当x?(0,1)
n?01时,由几何级数求和公式,可得 S(x)=(lnx)2. 21?x因为S(1?0)?0,所以S(x)在(0,1]上连续.考虑到级数的每一项都同号,且在(0,1]上连续,由Dini定理可知,级数?x2n(lnx)2在(0,1]上一致收敛. 可见用Dini定理来判别函数项级数的一致收敛性是很方便的. 3.2.3 定理11（一致L条件判别法）
当?un(x)满足一致L条件时,我们来探讨?un(x)的一致收敛性,得到函数项级数的一致L条件判别法：
??n?1n?1??n?02?n?0设函数列{un(x)}在闭区间[a,b]上连续,且存在一点x0?[a,b]收敛,使得
n0?u(x)在点xn?1收敛；且?un(x)在闭区间[a,b]上满足一致L条件，即存在常数
n?1?n?1L?0,使得对于任意两点x,x0?[a,b],则函数项级数?un(x)在[a,b]上一致收
敛.
?证明 已知?un(x)在点x0?[a,b]收敛,即任意??0,存在N1(?),使得
n?1n?pn?N1(?)时,对任意p?N,有
?k?n?1?uk(x0)??；又因为?un(x)在闭区间[a,b]上
n?1?满足一致L条件,即存在常数L?0,使得对于任意两点x,x0?[a,b],都有
k?n?1?u(x)??u(x)?L(x?x)
kk00k?n?1n?pn?p[第10页,共17页]
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存在?(x0)??L,当0?x?xo??(x0)时,对一切n?N?,任意p?N?,对任意
n?pkk00x?[a,b],有
k?n?1?u(x)??u(x)?L(x?x)
k?n?1n?p
n?pn?p?L??L??于是任意n?N?,p?N?,对任意x?[a,b],
k?n?1?u(x)??u(x)??u(x)??u(x)kkk0k0k?n?1n?pk?n?1n?pk?n?1n?pn?pn?p??uk(x)??uk(x0)??uk(x0)k?n?1k?n?1k?n?1 ?????2?.
即?un(x)在[a,b]上一致收敛.
n?1?sinnx在(??,??)上一致收敛 3nsinnx解 ?3显然在0处收敛
nn?pn?pn?psinkxn?psinkxuk(x)??uk(x0)?????33kk?n?1k?n?1k?n?1k?n?1k例8 ??sin(n?1)xsin(n?1)x0??sin(n?p)xsin(n?p)x0?????...????333(n?1)?(n?p)3??(n?1)?(n?p)???sin(n?1)xsin(n?1)x0sin(n?p)xsin(n?p)x0??...??333(n?1)(n?1)(n?p)(n?p)311(n?1)x?(n?1)x?...?(n?p)x?(n?p)x0 033(n?1)(n?p)11?x?x?...?x?x0022(n?1)(n?p)?11????...?x?x022?(n?p)??(n?1)?2?11???2?2?....?x?x0?x?x0?Lx?x06?12?3.2.4 定理12（导数判别法）
下面探讨在函数列{un(x)}可微条件下,当?un?(x)在[a,b]上一致收敛时,函
n?1?数项级数?un(x)的一致收敛性.
n?1?[第11页,共17页]
函数项级数的一致收敛判别法探究
设函数列{un(x)}在闭区间[a,b]上连续可微,且存在一点x0?[a,b]使得
?????un(x)在点x0收敛；?un(x)在[a,b]上一致收敛,则函数项级数?un(x)
n?1n?1n?1在[a,b]上一致收敛.
证明 已知?un(x)在点x0?[a,b]收敛, ?un(x)在[a,b]上一致收敛,即
n?1n?1???n?p任意??0,存在N1(?),使得n?N1(?)时,对任意p?N,有
n?p?k?n?1?uk(x0)??对任意
x?[a,b],有
k?n?1?u?k(x)??,根据拉格朗日中值定理,任意n?N?,任意p?N?,任
意x?[a,b],有
k?n?1?u(x)??u(x)??u?(?)(x?x)kk0k0k?n?1k?n?1n?pn?pn?p??(b?a)（?介于x与x0之间）
于是任意n?N?,任意p?N?,任意x?[a,b],
x) ??uk(x)??k( u
k?n?1k?n?1n?pn?pk?n?1n?p?u(x)??u(x)k0k0k?n?1n?pk0k0n?pn?p
? ?uk(x)?k?n?1n?pk?n?1?u(x)??u(x)k?n?1??(b?a)????(b?a?1).
即?un(x)在[a,b]上一致收敛.
1 例9 ?sin
nn?1n?1??解：令f(x)?sinx,显然在x?0处可导连续,但f'(0)?1?f(0),所以由导数判别法知级数发散.
3.2.5 定理13（点列判别法）
接下来,我们把?un(x)在点集X归结到点列的情况下来确定函数项级数的一致收敛性.
n?1??un?1?n(x)在点集
X上一致收敛于S(x)的充分必要条件是对任意
点列{xn}?X,都有
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