1-cos2A=4
5
. (理)(2013·广东高考)已知函数f(x)=2cos(x-π
12),x∈R.
(1)求f(-π
6
)的值;
(2)若cosθ=35,θ∈(3π2,2π),求f(2θ+π
3).
[解析] (1)f(-π6)=2cos(-ππ
6-12) =2cos(-ππ
4)=2cos4
=1
(2)f(2θ+π3)=2cos(2θ+π3-π12)=2cos(2θ+π
4)=cos2θ-sin2θ
因为cosθ=35,θ∈(3π4
2,2π),所以sinθ=-5
所以sin2θ=2sinθcosθ=-24
25,
cos2θ=cos2θ-sin2θ=-7
25
所以f(2θ+π3)=cos2θ-sin2θ=-725-(-2417
25)=25
.
能力强化训练
一、选择题
1.(文)在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=2
3
3,则tanAtanB的值为()
5
求 A.14 B.13 C.1 D.523
[答案] B
[解析] tan(A+B)=-tanC=-tan120°=3,
∴tan(A+B)=tanA+tanB
2
3
31-tanAtanB=3,即1-tanAtanB=3. 解得tanAtanB=1
3
,故选B.
(理)若α,β∈?πβ?0,3α1
2??,cos??α-2??=2,sin??2-β??=-2,则cos(α+β)的值等于(A.-3 B.-12
2
C.1
2 D.32
[答案] B
[解析] ∵sin?α?2-β??=-12,α
2-β∈?π?-2,0?? ∴α2-β=-π
6
① ∵cos??α-β2??=3
2,α,β∈?π?0,2??, ∴α-β2∈??-ππβππ
4,2??,∴α-2=-6或6
② α=π由①②有??3
?β=π
3
α=-
π或??9
(舍去),
?β=π
9
∴cos(α+β)=cos2π3=-1
2
.
2.(文)若θ∈[ππ37
4,2],sin2θ=8,则sinθ=( )
A.3
B.45 5 C.74
D.34
[答案] D
) 6
[解析] 本题考查了三角函数的恒等变形以及倍半角公式. 由θ∈[π4,π2]可得2θ∈[π
2,π],
cos2θ=-
1-sin22θ=-1
8,
sinθ=
1-cos2θ2=3
4
. (理)若sin?π?6-α??=1
3,则cos?2π?3+2α??等于( ) A.-7
9
B.-13
C.13 D.79
[答案] A
[解析] cos?2π?3+2α??=cos??π-2?π
?6-α???? =-cos2?π?6-α??=2sin2?π?76-α??-1=-9. 二、填空题
3.(2013·四川高考)设sin2α=-sinα,α∈(π
2,π),则tan2α的值是________.[答案]
3
[解析] 本题考查三角函数恒等式的应用.主要是倍角公式. sin2α=2sinαcosα=-sinα,∴cosα=-1
2.
∴α=23π,∴tan2α=tan4ππ
3=tan3
=3. 4.函数y=sin??x+π3??sin??x+π
2??的最小正周期T=______. [答案] π
[解析] 解法1:f(x)=sin??x+π3??sin?π
?x+2?? =-12??cos??2x+5π6??-cos??-π6???? =-12cos??2x+5π6??+3
4.∴T=π. 解法2:y=?1?2sinx+3
2cosx??
cosx
7
=14sin2x+34cos2x+34 =12sin??2x+π3??+3
4,∴T=π. 三、解答题
5.(文)(2013·广东高考)已知函数f(x)=2cos(x-π
12),x∈R.
(1)求f(π
3
)的值;
(2)若cosθ=35,θ∈(3π2,2π),求f(θ-π
6).
[解析] (1)f(ππππ
3)=2cos(3-12)=2cos4=1.
(2)∵cosθ=35,θ∈(3π
2,2π),
∴sinθ=-
1-cos2θ=-45
. ∴f(θ-ππ6)=2cos(θ-4) =2(cosθcosππ4+sinθsin4)=-15.
(理)已知函数f(x)=tan(2x+π
4).
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)设α∈(0,πα
4),若f(2)=2cos2α,求α的大小.
[解析] (1)由2x+ππ
4≠2+kπ,k∈Z,得
x≠π8+kπ
2
,k∈Z, 所以f(x)的定义域为???x∈R??x≠π8+kπ
2 ,k∈Z???
. f(x)的最小正周期为π
2
. sin?(2)由f?α?α+π4??
?2??=2cos2α,得tan??α+π4??=2cos2α,=2(cos2α-sin2α),cos?π?α+4??整理得sinα+cosα
cosα-sinα
=2(cosα+sinα)(cosα-sinα).
8