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三角函数求值域专题
求三角函数值域及最值的常用方法：
（1） 一次函数型：或利用为：y?asinx?bcosx?a2?b2?sin(x??)，
利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，
（1）：y??2sin(3x??12)?5，y?sinxcosx
（2）y?4sinx?3cosx （3）.函数y?sinx? （4）函数y?tan(3cosx在区间[0,]上的最小值为 1 ．
2??2?x)(??4?x??4且x?0)的值域是___(??,?1]?[1,??)
（2）二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解； 二倍角公式的应用：
如： （1） y?sinx?cos2x （2）函数f(x)?cosx?13cos2x(x?R)的最大值等于．
421?cos2x?8sin2x （3）.当0?x?时，函数f(x)?的最小值为 4 ．
sin2x 2? （4）.已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是 1 ．
（5）.若2?????，则y?cos??6sin?的最大值与最小值之和为____2____．
（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；
asinx?b型如f(x)?型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：
ccosx?d①转化为asinx?bcosx?c再利用辅助角公式求其最值；
②利用万能公式求解；
③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数y?sinx的值域。
cosx?2解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx)与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得ysinx得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线
cosx?23333,]。得斜率分别为?、。结合图形可知，此函数的值域是[?
3333斜率便是函数y?POQx解法2：将函数y?sinx2y变形为ycosx?sinx?2y，∴sin(x??)?由
2cosx?21?y|sin(x??)|?|2y|1?y2?1?(2y)2?1?y2，解得：?3333?y?,] ，故值域是[?33331?t22tsinxcosx?解法3：利用万能公式求解：由万能公式sinx?，，代入得到y?1?t2cosx?21?t22t23yt?2t?y?0知：当t?0，则y?0，满足条件；当t?0，由则有y?2?1?3t3333△?4?12y2?0，???y?,]。 ，故所求函数的值域是[?33331?t22tsinxcosx?解法4：利用重要不等式求解：由万能公式sinx?，，代入得到y?221?tcosx?21?t222ty???当时，则，满足条件；当时，，如果t > y?0t?0t?0y?211?1?3t??3t(?3t)tt0，则y?22233???????y?0；如果t < 0，则，此时即有?113233??3t(?3t)tt2333230?y?[?,]。 ，此时有。综上：此函数的值域是y???13333(?)?(?3t)2(?1)(?3t)tt2?cosx例2.求函数y?(0?x??)的最小值．
sinx解法一：原式可化为ysinx?cosx?2(0?x??)，得
1?y2sixn??(?，即)22， sixn?(??)21?y故21?y2，所以y的最小值为3． ?1，解得y?3或y??3（舍）解法二：y?222?cosx(0?x??)表示的是点A(0,2)与B(?sinx,cosx)连线的斜率，其中点B在左
sinx半圆a?b?1(a?0)上，由图像知，当AB与半圆相切时，y最小，此时kAB?3，所以y的最小值为3．
（4）换元法．
t2?1?t再用配方、 代数换元法代换：y?sinxcosx?sinx?cosx 令：sinx?cosx?t,则y?2 例题：求函数y?sinx?cosx?sinx?cosx的最大值．
t2?1121?osx? 解：设sinx?cosx?t(?2?t?2)，则sinxc，则y?t?t?，当t?2222时，y有最大值为
1?2． 2 （5）降幂法
型如y?asin2x?bsinx?cosx?c(a?0)型。此类型可利用倍角公式、降幂公式进行降次、整理为y?Asin2x?Bcos2x型再利用辅助角公式求出最值。
?7?例1：求函数f(x)?53cos2x?3sin2x?4sinxcosx(?x?)的最值，并求取得最值
424时x的值。
解：由降幂公式和倍角公式，得
f(x)?531?cos2x1?cos2x?3?2sin2x 22?23cos3x?2sin2x?33 ?4cos(2x?∵
?6)?33
2?17?2??3??cos(2x??)? ， ∴，∴??2x??2624243647?∴f(x)的最小值为33?22，此时x?，f(x)无最大值。
24??x?例2. 已知函数f(x)?2sin?2?π??ππ??x??3cos2x，x??，?． ?4??42? （I）求f(x)的最大值和最小值；
（II）若不等式f(x)?m?2在x??，?上恒成立，求实数m的取值范围．
42解：（Ⅰ）∵f(x)??1?cos??ππ??????π???2x???3cos2x?1?sin2x?3cos2x ?2??π???1?2sin?2x??．
3?? 又∵x??，?，∴≤2x?≤，即2≤1?2sin?2x??≤3，
3?633?42???ππ?ππ2π?π?
∴f(x)max?3，f(x)min?2．
（Ⅱ）∵f(x)?m?2?f(x)?2?m?f(x)?2，x??，?，
42
?ππ???∴m?f(x)max?2且m?f(x)min?2，∴1?m?4，即m的取值范围是(1，4)．
（5）典型应用题
扇形AOB的半径为1，中心角为60?，PQRS是扇形的内接矩形，问P在怎样的位置时，矩形PQRS的面积最大，并求出最大值．
解：连接OP，设?AOP?x，则PS?sinx，OS?cosx，
B Q P RS?cosx?3sinx． 3O R S A
33?3?S?(cosx?sinx)sinx?sin(2x?)?，
33660?x??3，所以当x?
?6
时，P在圆弧中心位置，Smax?3． 6 类型6：条件最值问题（不要忘了条件自身的约束）。
12 例1. 已知sinx?siny?，求siny?cosx的最大值与最小值．
312解：（1）由已知得：siny??sinx，siny?[?1,1]，则sinx?[?,1]．
331111112siny?cos2x有最小值?；当n当nisx?时，isx??时，?siny?cos2x?(sinx?)2?，
21232124siny?cos2x有最小值．
92222例2：已知3sin??2sin??2sin?，求y?sin??sin?的取值范围。
3222解：∵3sin??2sin??2sin?，∴sin2???sin2??sin? ∵0?sin??1
23sin2??sin??022解得0?sin??
33sin2??sin??12111∵y?sin2??sin2???sin2??sin???(sin??1)2?
2222 ∵0?sin??。
3????∴?????