发布时间 : 星期日 文章2019-2020年中考数学试题分类汇编42 动态问题更新完毕开始阅读
二.填空题 三.解答题
1. （ 2014?广东，第25题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由． 考点： 相似形综合题．
分析： （1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；
（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；
（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．
解答： （1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．
又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF． ∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C． ∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C， ∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．
（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴
，即
，解得：EF=10﹣t．
S△PEF=EF?DH=（10﹣t）?2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10 ∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．
（3）解：存在．理由如下：
①若点E为直角顶点，如答图3①所示， 此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t． ∵PE∥AD，∴
，即
，此比例式不成立，故此种情形不存在；
②若点F为直角顶点，如答图3②所示， 此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t． ∵PF∥AD，∴
，即
，解得t=
；
③若点P为直角顶点，如答图3③所示．
过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．
∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，
∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．
在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=∵FN∥AD，∴
，即
，解得CN=t，
t．
2t）=
t2．
∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣
2
在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）+（10﹣t2﹣85t+100．
在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2， 即：（10﹣t）2=（化简得：解得：t=∴t=
．
秒或t=
秒时，△PEF为直角三角形． t2）+（
t2﹣85t+100）
t2﹣35t=0， 或t=0（舍去）
综上所述，当t=
点评： 本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；
第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．
2.（2014?武汉2014?武汉，第24题10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值； （3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
考点： 分析： 相似形综合题 （1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，时，==，当△BPQ∽△BCA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可； （2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出=，代入计算即可； ，再把QC=4t，（3）作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，先得出DF=PE=8﹣BM=8﹣4t代入求出DF，过BC的中点R作直线平行于AC，得出RC=DF，D在过R的中位线上，从而证出PQ的中点在△ABC的一条中位线上． 解答： 解：（1）①当△BPQ∽△BAC时， ∵∴==，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm， ， ∴t=1； ②当△BPQ∽△BCA时， ∵∴∴t===， 时，△BPQ与△ABC相似； ，x§k§b 1 ， ∴t=1或（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，