发布时间 : 星期三 文章七年级数学上册 3.4 实际问题与一元一次方程 用一元一次方程解实际问题素材（新版）新人教版更新完毕开始阅读
用一元一次方程解实际问题
一、和、差、倍、分问题：本类问题依具体题意，由和、差、倍、分列方程求解．
例1 某大型商场三个季度共销售DVD2800台，第一季度销售量是第二季度的13，第三季度销量是第二季度的2倍，问第三季度销售DVD多少台？
分析：列总量=各分量之和
解：设第二季度销售量为x，则13x+x+2x=2800 x=840 2x=1680 答：第三季度销售量为1680台． 二、人数调配问题
本类问题依调动后列等量关系
例2 甲、乙两个工程队分别有80人和60人，为了支援乙队，需要从甲队调出一部分人进乙队，使乙队的人数比甲队人数的2倍多5人，问从甲队调出的人数应是多少？
解：应从甲队调出人进乙队，则调动后的等量关系是：乙队的人数=甲队的人数×2+5，所以60+x=2（80-x）+5 解之得x=35
答：从甲队调出的人是35． 三、商品的销售问题
? 商品利润=商品售价-商品进价（即商品成本） ? 商品利润率=商品利润商品进价×100% ? 折扣率：打n折，指按售价为n10售出，n折可以是小数（如8.5折）
例3 某商品的进价是1530元，按商品标价的9折出售时，利润率是15% ，商品的标价是多少元？ 分析：本题由利润=进价×利润率=标价×折扣率-进价列方程
解：设此商品的标价是x元，则0.9x-1530=1530×15% 解得x=1955 答：此商品的标价是1955元． 四、数字型问题
解决这类问题关键在于如何巧妙设出未知数，从而化简计算，常用的设未知数方法是：①连续数设中间；②多位自然数设一位；③数字换位设部分；④小数点移动直接设；⑤数字成比例设比值；⑥特殊关系特殊设
例4 一个四位整数，其个位数字为2，若把末位数字移到首位，所得新数比原数小108，求这个四位数．
解：设这个四位数的前三位数为x，由此四位数为10x+2，末位数移到首位后所得新数为1000×2+x，则
（10x+2）-（1000×2+x）=108 解得x=234 所以10x+2=2343 五、百分比问题
例5 某所中学现有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校在校生
将增加10%，问：这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数分别是多少？
分析：本题等量关系是：一年后初中在校生增加的人数+高中在校生增加的人数=全校在校生增加的总人数 解：设这所学校现在的初中在校生人数为x人，则现在的高中在校生为（4200-x）人，由题意可得8%·x+（4200-x）×11%=4200×10%，解得x=1400 当x=1400时，4200-x=2800
答：这所学校现在的初中在校生人数为1400人，现在的高中在校生人数为2800人． 六、工程问题
工程问题经常把总工作量看成1，存在等量关系：工作效率×工作时间=工作量，工作量的和=1
例1 某单位开展植树活动，由一人植树要80小时完成，现由一部分人先植树5小时，由于单位有紧急事情，再增加2人，且必须在4小时之内完成植树任务，这些人的工作效率相同，应先安排多少人植树？
115，由x人先做5小时，完成的工作量为×5×x=x，8080804(x?2)1增加2人后，4小时完成的工作量为×（x+2）×4=，由5小时的工作量×4小时的工作量=工作总
8080分析：把工作量看作1，每一个人的工作效率为量，可列方程
解：设安排x人先工作5小时，根据工作总量等于各分量之和，得5x答：应先安排8人植树
例2 某车间接到一批加工任务，计划每天加工120件，可以如期完成，实际加工时每天多加工20件，结果提前4天完成任务，问这批加工任务共有多少件？
分析：假设这批加工任务一共有x件，那么计划系：计划用的时间 -实际用的时间=4，列方程
解：设这批加工任务共有x件，依题意得x答：这批加工任务共有3360件 七、行程问题
行程问题，它涉及路程、速度和时间三个基本量，在匀速条件下，它们的基本关系是：路程=速度×时间，行程问题又分为以下四种情况
? 相遇问题
基本关系式：快者路程+慢者路程=两地距离
例3 甲、乙两列火车从A、B两地相向而行，乙车比甲车早发车1h，甲车比乙车速度每小时快30km，甲车发车两小时恰好与乙车相遇，相遇后为了错车，甲车放慢了速度，以它原来的以它原来的
80+
4(x?2)80=1 解得x=8
xx天完成，而实际用了天完成，所以由等量关120120?20120—x(120?20)=4 解得x=3360
2速度行驶；而乙车加快了速度，351倍飞速行驶，结果2h后，两车距离又等于A、B两地之间的距离，求两车相遇前速度及A、B两34地之间的距离。
2
解析：设相遇前乙车的速度为xkm/h，则相遇前、后两车行驶的路程可由图1表示出来
乙 2（x+30） 甲 依题意得3x+2（x+30）=[2（x+30）+5x]×9， 334A
解得x=60则x+30=90（km/h）， 3x+2（x+30）=3×60+2×90=360（km） 答：相遇前甲车的速度为90km/h
A
相遇前乙车的速度为60km/h A、B两地之间的距离为360km. ? 追及问题
? 同地追及。基本关系式：快者路程=慢者路程
图1
乙 3x
B 95×x 4392×（x+30）
甲 43B 例4一队学生在校外进行军事野营训练，他们以5km/h的速度行进，走了18min的时候，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14km/h的速度按原路追去，问通讯员用多久可以追上学生队伍？
解：设通讯员用xh可以追上学生队伍，依题意，得5（x+18答：通讯员用1h可以追上学生队伍
60）=14x 解这个方程，得x=1
66? 异地追及：基本关系式：快者路程-慢者路程=两地距离
例5 A、B两站间的距离为448km，一列慢车从A站出发，每小时行驶60km，一列快车从B站出发，每小时行驶80km，问经过几小时快车能追上慢车？
分析：本题虽未明确两车的行驶方向，但既然快车能追上慢车，则两车只能沿从A到B的方向同向而行 解：设经过xh快车能追上慢车，根据题意得 80x-60x=448，解得x=22.4 答：经过22.4小时快车能追上慢车 ? 环形跑道问题
一般情况下，在环形跑道上，两人同时出发，第n次相遇有两种情况：相向而行，路程和等于n圈长；同向而行，路程差等于n圈长
例6 小王每天去体育场每次都见到一位田径队的叔叔也在锻炼，两人沿400米跑道跑步，每次总是小王跑2圈的时间叔叔跑3圈，一天，两人在同地反向而跑，小明看了一下记时表，发现隔了32秒两人第一次相遇，求两人的速度；第二天小王打算和叔叔在同地同向而跑，看叔叔隔多少时间首次与他相遇，你能先帮小王预测一下吗？
解：设叔叔的速度为3Vm/s，则小王的速度为2Vm/s 根据题意，得（3V+2V）32=400，解得V=2.5 ∴3V=3×2.5=7.5m/s 2V=2×2.5=5m/s 即叔叔的速度为7.5m/s，小王的速度为5m/s
第二天同地同向跑时，设xs首次相遇依题意，得7.5x-5x=400，解得x=160，即160s后首次相遇 点评：本题隐含一个条件是小王与叔叔的速度比为2：3
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? 航行问题
对于航行问题，需注意以下几点：
? 航行问题主要包括轮船航行和飞机航行
顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度；逆水（风）速度=静水（风）速度-水流（风）速度，顺水（风）速度-逆水（风）速度=2倍水（风）速度。
?
基本关系式：往路程=返路程
例7 有甲、乙两艘船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知，须立即返回C地执行任务，甲船继续顺流航行，已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5km，水流速度为每小时2.5km，A、C两地间的距离为10km，如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4h，问：乙船从B地到达C地时，甲船距离B地多远？
分析：本题C地可能在A、B两地之间，也可能不在A、B两地之间，所以应分两种情况分析 解：设乙船由B地航行到C地用了xh，那么甲、乙两船由A地到B地都用了（4-x）h
（1） 若C地在A、B两地之间，则有（4-x）（7.5+2.5）-x（7.5-2.5）=10，解得x=2，所以甲船距离B地10×2=20（km）
（2） 若C地不在A、B两地之间，则有x（7.5-2.5）-4（4-x）（7.5+2.5）=10 解得x=34，所以甲船距离B地10×34=340（km）
999答：甲船距离B地340km
9八、方案决策问题
例1 商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种型号每台1500元，乙种型号每台2100元，丙种型号每台2500元．
? 若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案； ? 若商场销售一台甲种型号电视机可获利150元，销售一台乙种型号电视机可获利200元，销售一台丙种型号电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？
分析：（1）本题没有明确进哪两种型号的电视机，而厂家提供了三种型号的电视机，故有三种不同的购货方案，即甲和乙，甲和丙，乙和丙，应分别求之；（2）把（1）中每种方案的获利分别求出，比较后即可得到获利最多的方案．
解：（1）①设购进甲种型号电视x台，则购进乙种型号电视机（50-x）台，根据题意，得 1500x+2100（50-x）=90000 解这个方程，得x=25，则50-x=25 故第一种进货方案是购进甲、乙两种型号的电视机各25台．
②设购进甲种型号电视机y台，则购进丙种型号电视机（50-y）台，根据题意得 1500y+2500（50-y）=90000 解这个方程，得y=35，则50-y=15
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