发布时间 : 星期六 文章2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第二部分刷题型压轴题（一）文更新完毕开始阅读
压轴题(一)
12．(2019·山东潍坊摸底考试)在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，给出下列结论：
①△ABC被唯一确定； ②△ABC一定是钝角三角形； ③sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3； 153
④若b＋c＝8，则△ABC的面积是.
2其中正确结论的序号是( )
A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④ 答案 B
753
解析 由已知可设a＋b＝6k，c＋a＝5k，b＋c＝4k(k>0)，则a＝k，b＝k，c＝k，所
222以a∶b∶c＝7∶5∶3，所以sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3，所以③正确．又a，b，c的值不
b2＋c2－a212π
确定，所以①错误．在△ABC中，cosA＝＝－，A＝，所以②正确．因为b＋c2bc23
1153
＝8，所以b＝5，c＝3，所以S△ABC＝bcsinA＝，所以④错误．
24
16．(2019·湘赣十四校联考二)如图，正三棱锥P－ABC的高PO＝8，底面边长为4，M，
N分别在BC和PO上，且PN＝2CM，当三棱锥N－AMC体积最大时，三棱锥N－AMC的内切球的
半径为________．
答案
13－3
111113
解析 设CM＝x，VN－AMC＝S△AMC·NO＝×AC·CM·sin60°·(PO－PN)＝××4x×33232223832
×(8－2x)＝(4x－x)，当x＝2时，VN－AMC取得最大值，此时M为BC的中点，AM经过
33432323983239
点O，且NO＝4，AO＝，∴OM＝，NM＝，NA＝NC＝，则S△NAM＝43，S△NCM＝，33333
S△NAC＝439
，S△CAM＝23， 3
1
又∵(S△NAM＋S△NCM＋S△NAC＋S△CAM)·r＝VN－AMC，
3∴r＝13－3.
20．已知函数f(x)＝(x＋ax＋1)e. (1)讨论f(x)的单调性；
(2)若不等式f(x)≥x＋1恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝(x＋1)(x＋a＋1)e，令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝－1－a； ①当a＝0时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；
②当a>0时，在(－∞，－1－a)∪(－1，＋∞)上f′(x)>0，在(－1－a，－1)上f′(x)<0， 因此f(x)在(－∞，－1－a)和(－1，＋∞)上单调递增，在(－1－a，－1)上单调递减． ③当a<0时，在(－1，－1－a)上f′(x)<0，在(－∞，－1)∪(－1－a，＋∞)上f′(x)>0， 因此f(x)在(－1，－1－a)上单调递减，在(－∞，－1)和(－1－a，＋∞)上单调递增． (2)令g(x)＝f(x)－x－1，则g′(x)＝f′(x)－1，由于g(0)＝0， 若g(x)≥0恒成立，则必有g′(0)＝0，得a＝0，此时f(x)＝(x＋1)e； 则g′(x)＝(x＋1)e－1，记G(x)＝(x＋1)e－1， 则G′(x)＝(x＋1)(x＋3)e，则G(x)的单调性如下表：
x2x2x2
2
xxxx G′(x) G(x) (－∞，－3) ＋ 单调递增 －3 0 43－1 e(－3，－1) － 单调递减 －1 0 －1 (－1，＋∞) ＋ 单调递增 而G(0)＝0，由单调性知x>0时g′(x)>0，g(x)单调递增； x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，g(x)≥g(0)＝0，
因此f(x)≥x＋1；
所以当a＝0时，f(x)≥x＋1恒成立，因此a＝0.
x2y2
21．(2019·湖南五市十校教研教改共同体12月联考)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)
ab的离心率为＝0相切．
2，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y－22
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，过定点P(2,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于点M，求
证：∠PFM＝∠PFB.
解 (1)依题意可设圆C的方程为x＋y＝b， ∵圆C与直线x－y－2＝0相切，∴b＝
|2|1＋1
222
2
2
＝1.∴a－c＝1，
22
由＝ca2
，解得a＝2， 2
∴椭圆C的方程为＋y＝1.
2
(2)证明：依题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，代入＋y＝
21，整理得(1＋2k)x－8kx＋8k－2＝0，
∵直线l与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，即2k－1＜0.
8k8k－2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，则x1＋x2＝x1x2＝ 2，2，1＋2k1＋2k∵F(1,0)， ∴k1＋k2＝
2
2
2
2
2
2
2
x2
2
x2
2
y1x1－1
＋
y2x2－1
＝
kx1－
x1－1
2
＋
kx2－x2－1
＝2k－k?
?1＋1?＝2k－
?
?x1－1x2－1?
8k2－22
1＋2kx1＋x2－24k－2??k?＝2k－k·2＝0，即∠PFM＝∠PFB. ?＝2k－k·8k2－22
8k2k－1?x1x2－x1＋x2＋1?
2－2＋11＋2k1＋2k