发布时间 : 星期日 文章2016_2017学年高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二学更新完毕开始阅读
。 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）
学业分层测评 (建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝(x2
－1)n的复合过程正确的是( ) A．y＝un，u＝x2
－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2
－1
【答案】 A
2
2．若f(x)＝1－xsin x，则f(x)的导数是( )
2
A.－2xsin x－1－xcos xsin2
x 2
B.－2xsin x＋1－xcos xsin2
x
2
C.
－2xsin x＋1－xsin x
2
D.
－2xsin x－1－xsin x
【解析】 f′(x)＝ 1－x2
′sin x－1－x2
·sin x′－2xsin x－1－x2
sin2x＝cos xsin2
x.
【答案】 A
3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( ) A．ln(2x＋5)－
x2x＋5
B．ln(2x＋5)＋2x2x＋5
C．2xln(2x＋5)
D.
x2x＋5
【解析】 y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋
x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x·
1
2x＋5
· (2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋2x2x＋5
. 【答案】 B
4．(2016·宁波高二检测)函数f(x)＝x＋xln x在(1,1)处的切线方程为( A．2x＋y－1＝0
B．2x－y－1＝0
) 1
C．2x＋y＋1＝0
【解析】 ∵f′(x)＝(x＋xln x)′ ＝1＋x′ln x＋x(lnx)′ ＝1＋ln x＋1＝2＋ln x， ∴f′(1)＝2＋ln 1＝2，
∴函数f(x)在点(1,1)处的切线方程为
D．2x－y＋1＝0
y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
【答案】 B
5．函数y＝cos 2x＋sinx的导数为( ) cosxA．－2sin 2x＋
2xsinxC．－2sin 2x＋
2xcosxB．2 sin 2x＋
2xcosxD．2sin 2x－
2x【解析】 y′＝－sin 2x·(2x)′＋cos x·(x)′ 11
＝－2sin 2x＋·cosx
2xcosx＝－2sin 2x＋.
2x【答案】 A 二、填空题
6．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________. 1
【解析】 设P(x0，y0)．∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x.
x∴k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e. ∴y0＝eln e＝e.∴点P的坐标是(e，e)． 【答案】 (e，e)
?π??π?7．已知函数f(x)＝f′??sin x＋cos x，则f′??＝________. ?2??4??π?【解析】 ∵f′(x)＝f′??cos x－sin x， ?2?
ππ?π??π?∴f′??＝f′??cos －sin ＝－1， 22?2??2?∴f′(x)＝－cos x－sin x，
ππ?π?∴f′??＝－cos －sin ＝－2. 44?4?【答案】 －2
1
8．(2016·广州高二检测)若函数为y＝sinx－cosx，则y′＝________________. 【解析】 ∵y＝sinx－cosx＝(sinx＋cosx)·(sinx－cosx)＝－cos 2x， 4
4
2
2
2
2
44
∴y′＝(－cos 2x)′＝－(－sin 2x)·(2x)′ ＝2 sin 2x. 【答案】 2sin 2x 三、解答题
9．求下列函数的导数． (1)y＝1－2x2
；(2)y＝e
sin x；
(3)y＝sin???
2x＋π3???；(4)y＝5log2(2x＋1)． 1
【解】 (1)设y＝u2，u＝1－2x2
，
1
?1
则y′＝(ux2
)′＝?1－?2u2?2)′(1－2??
·(－4x)
＝11
2(1－2x2)－
－2x2(－4x)＝1－2x2
. (2)设y＝eu，u＝sin x， 则yusin xx′＝yu′·ux′＝e·cos x＝ecos x.
(3)设y＝sin u，u＝2x＋π3
，
则yx′＝yu′·ux′＝cos u·2＝2cos???2x＋π3???. (4)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝y10
10
u′·ux′＝
uln 2
＝2x＋1ln 2
.
10．求曲线y＝2sin2
x在点P??π1?6，2???
处的切线方程．
【解】 因为y′＝(2sin2
x)′＝2×2sin x×(sin x)′ ＝2×2sin x×cos x＝2sin 2x， 所以y′|x＝π6＝2sin???2×π6???＝3. 所以过点P的切线方程为y－1?π?2＝3??x－6??，
即3x－y＋13π
2－6
＝0.
[能力提升]
1．(2016·长沙高二检测)函数y＝sin 2x－cos 2x的导数是( )
1
π??A．22 cos?2x－? 4??B．cos 2x－sin 2x C．sin 2x＋cos 2x π??D．22cos?2x＋? 4??
【解析】 ∵y′＝(sin 2x－cos 2x)′ ＝(sin 2x)′－(cos 2x)′
＝cos 2x·(2x)′＋sin 2x·(2x)′＝2cos 2x＋2sin 2x ＝22?
2?2??2x－π?，
＝22cos??cos 2x＋sin 2x?4??2?2?
故选A. 【答案】 A
4
2．已知点P在曲线y＝x上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范
e＋1围是( )
?π?A.?0，?
4??
C.?
B.?D.?
?π，π?
?
?42??3π，π?
?
?4?
?π，3π?
4??2?
4
， e＋1
x【解析】 因为y＝－4e
所以y′＝xe＋1
x－4e＝＝22xxe＋2e＋1
x－4
. 1xe＋x＋2
e
1xx因为e>0，所以e＋x≥2，所以y′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．
e又因为α∈[0，π)，所以α∈?【答案】 D 3．曲线y＝e
－5x?3π，π?.
?
?4?
＋2在点(0,3)处的切线方程为_________________________．
－5x【解析】 因为y′＝e(－5x)′＝－5e
－5x，
所以y′|x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)， 即5x＋y－3＝0. 【答案】 5x＋y－3＝0
4．已知函数f(x)＝x＋1(1－a)x－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
1
3
2