发布时间 : 星期二 文章重庆大学《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案更新完毕开始阅读
六、（本题8分）求
f(t)?e??t(??0)的傅立叶变换，并由此证明：
得分
???cos?t??22d??e?t
0???2?共6页第 17 页
得分 ?复变函数与积分变换?期末试题简答及评分标准（B）
一． 填空题（每小题3分，共计15分）
?1?i1．的幅角是（ ??2k?,k?0?1,?2,? ）；2.Ln(?1?i)的
241?主值是（ln2?i ）；3.
241f(z)?1?z2，
f(7)(0)?（ 0 ）；
z?sinz1f(z)?Res[f(z),0]?f(z)?4． ，（ 0 ） ；5． ，
z2z3Res[f(z),?]?（ 0 ）；
得分 二．选择题（每小题3分，共计15分）
1-------5 A A C C C 得分 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）
2222 （1）求a,b,c,d使f(z)?x?axy?by?i(cx?dxy?y)是解析函数， 解：因为f(z)解析，由C-R条件
?u?v?u?v??? ?x?y?y?x2x?ay?dx?2yax?2by??2cx?dy,
a?2,d?2,，a??2c,2b??d,c??1,b??1,
给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 （2）．
?C1dz．其中C是正向圆周z2z(z?1)?2；
解：本题可以用柯西公式\\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，
共6页第 18 页
仅给出用前者计算过程 因为函数f(z)?1在复平面内只有两个奇点z1?0,z2?1，分别以z1,z22(z?1)z为圆心画互不相交互不包含的小圆
c1,c2且位于c内
1?C(z?1)2zdz??C111(z?1)2zdzdz?? C2(z?1)2z11?2?i()??2?izz?1(z?1)213z?0
z?0zedz，其中C是正向圆周z?2； （3）．计算?C(1?z)解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在：z?2内，由留数定理
?z?2f(z)dz??2?iRes[f(z),?]?2?ic?1 -----（5分）
12z1?z??13zzeze111111????z2(1?????)(1?????) 23231(1?z)z2!z3!zzzz1?z111111??(z?z????)(1??2?3??) 22!3!z4!zzzz2c?1??(1?1?811?)??
32!3!?
z?28f(z)dz??2?i
3(z2?1)(z?2)3（4）函数f(z)?在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有
(sin?z)3极点，请指出它的级.
f(z)的奇点为z?k,k?0,?1,?2,?3,?，?
共6页第 19 页
3z?k,k?0,?1,?2,?3,?为（sin?z）?0的三级零点，
z??1,为f(z)的二级极点，z??2是f(z)的可去奇点， z?0,2,?3,?4?，为f(z)的三级极点； ?为f(z)的非孤立奇点。
给出全部奇点给5分。其他酌情给分。
得分 1四、（本题14分）将函数f(z)?2在以下区域内展开成罗
z(z?1)朗级数；
（1）0?z?1?1，（2）0?z?1，（3）1?z??
（1）0?z?1?1，（2）0?z?1，（3）1?z??
解：（1）当0?z?1?1
f(z)?111?[]? 2z(z?1)(z?1)(1?(z?1)??1n]??[?(z?1)]???n(z?1)n?1 而[(1?(z?1)n?0n?0f(z)??n(z?1)n?2 --------6分
n?0?（2）当0?z?1
11f(z)?2=
z(z?1)z2?nn(?1)z ?n?0???(?1)zn?2 -----10分
n?0（3）当1?z??
11f(z)?2?z(z?1)z3(1?1)
z共6页第 20 页