发布时间 : 星期三 文章教学内容：等腰三角形更新完毕开始阅读
在△ABC中，∠B+∠C+∠1+∠3=180°， 即α+α+2α+α=180°， 5α=180°，α=36°.
∴∠BAC=∠3+∠1=α+2α=3α=3×36°=108°. ∴∠BAC的度数为108°.
学生做一做 （1）如图14－66所示，已知AB=AC，BC=CD=AD，求∠B的度数； （1）如图14－67所示，已知BD=CD=AC，∠B=18°，求∠ACB的度数.
老师评一评 （1）（2）题中都有几个等腰三角形，有许多相等的角，可设其中某一个角，再把其余的角表示出来.
（1）∵AB=AC，BC=CD=AD，
∴∠B=∠ACB，∠2=∠B，∠1=∠A.
设∠1=∠A=α，则∠2=∠B=2a，∠3=∠B-∠1=a. 在△BCD中，∠B+∠2+∠3=180°， ∴2α+2α+α=180°， ∴5α=180°，∴α=36°， ∴∠B=2α=2×36°=72°. （2）∵BD=CD=AC， ∴∠1=∠B，∠2=∠A.
又∵∠2=∠1+∠B=2∠B，∠B=18°， ∴∠2=2×18°=36°.∴∠A=36°.
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-36°-18°=126°.
例7 如图14－68所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是AD延长线上一点，连接BE，CE.求证BE=CE.
（分析）本题主要考查等腰三角形的性质和三角形全等的判定. 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. 又∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
∴∠BAD=∠CAD（全等三角形的对应角相等）. 在△ABE和△ACE中，
∴△ABE≌△ACE（SAS）.
∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）.
例8 如图14－69所示，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC外角∠DAC的平分线.试判断AF与BC的位置关系.
（分析）主要考查等腰三角形性质的应用. 解：AE与BC的位置关系是AE∥BC.理由如下： ∵AB=AC，∴∠B=∠C.
又∵∠DAC=∠B+∠C=2∠C，AE是∠DAC的平分线； ∴2∠EAC=∠DAC， ∴∠C=∠EAC，
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）.
学生做一做 （1）如图14－69所示，在△ABC中，AB=AC，AE∥BC.求证AE是△BAC的外角∠DAC的平分线；
（2）如图14－69所示，在△ABC中，AE是∠BAC的外角∠DAC的平分线，且AE∥BC.试判断△ABC的形状.
老师评一评 本题意在考查如果把已知问题中的条件与结论互换，看得到的新命题是否成立，有利于培养学生灵活分析问题和解决问题的能力.
（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C.
又∵AE∥BC，∴∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等）， ∠DAE=∠B（两直线平行，同位角相等）. ∴∠EAC=∠DAE.
∴AE是∠DAC的平分线.
（2）△ABC是等腰三角形.理由如下： ∵AE是∠DAC的平分线， ∴∠DAE=∠EAC. 又∵AE∥BC，
∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）. ∴△ABC是等腰三角形.
例9 如图14－70所示，△ABD和△ACE是等边三角形.求证BE=CD. （分析）欲证BE=CD，只需证明△ADC≌△ABE即可. 证明：∵△ABD和△ACE是等边三角形， ∴∠DAB=∠EAC=60°， AD=AB，AC=AE
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC， 即∠DAC=∠BAE.
在△DAC和△BAE中，
∴△DAC≌△BAE（SAS）.
∴DC=BE（全等三角形的对应边相等）.
学生做一做 如图14-71所示，B，C，D三点在一条直线上，△ABC和△ECD是等边三角形.求证BE=AD.
老师评一评 欲证BE=AD，只需证明△BCE≌△ACD即可. ∵△ABC和△ECD是等边三角形， ∴∠ACB=∠ECD=60°，BC=AC，EC=CD. ∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE， 即∠BCE=∠ACD.
在△BCE和△ACD中，
∴△BCE≌△ACD（SAS）.
∴BE=AD（全等三角形的对应边相等）.
小结 在完成类似的几何问题时，要注意灵活，举一反三，这样就可以避免题海战术，能够以点代面，同一类问题研究透彻，类似问题便能迎刃而解.
例10 等腰三角形ABC的周长为10cm，底边BC长为ycm，腰AB长为xcm. （1）写出y关于x的函数关系式； （2）求x的取值范围； （3）求y的取值范围.
（分析）本题主要考查代数与几何知识的综合应用，解题时注意相关的几何知识. 解：（1）y=10-2x.
（2）∵x，y为线段，∴x＞0，y＞0. ∴10-2x＞0，∴O＜x＜5.① 又∵x，y为三角形边长， ∴x+x＞y，即2x＞10-2x.② 由①②可得2.5＜x＜5.
∴x的取值范围是2.5＜x＜5.
（3）∵2.5＜x＜5，∴5＜2x＜10，∴-10＜-2x＜-5，∴O＜10-2x＜5， ∴O＜y＜5.
∴y的取值范围是O＜y＜5.
例11 如图14-72所示，在△ABC中.AB=AC，BD⊥AC，垂足为D，求∠DBC与∠A的关系.
图14-72
解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C. 又∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴∠C=
11（180°-∠A）=90°-∠A. 2211∠A）=∠A， 22又∵BD⊥AC.∴∠BDC=90°. ∴∠DBC=90°-∠C=90°-（90°-∴∠DBC=
1∠A. 2即等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于该等腰三角形顶角的一半.
学生做一做 （1）在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为D，若∠DBC=25°，则∠A= ； （2）在△ABC中，AB=AC，若∠B=70°，BD⊥AC，垂足为D，则∠DBC= . 老师评一评 由例11的结论得出；（1）题中，∠DBC=25°=
1∠A，∴∠A=50°.（2）2题中，∵AB=AC，∴∠B=∠C=70°.∴∠A=40°.∴∠DBC=20°.
例12 如图14－73所示，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE的长.
（分析）主要应用线段垂直平分线的性质和30°角的直角三角形的性质. 解：连接AE，