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第2章 动量守恒定律与能量守恒定律
一 基本要求
1 理解冲量、动量等概念。掌握动量定理及动量守恒定律，能运用它们解简单系统在平面内运动的力学问题。
2 理解功的概念，能计算变力做功的问题 。
3 理解保守力做功的特点和势能的概念，会计算重力、弹性力和万有引力做的功及对应的势能 。
4 理解动能定理、功能原理和机械能守恒定律，掌握运用守恒定律解问题 的思想和方法 。 二 基本概念 １ 质点的动量、冲量
质点的动量定义：p?mυ，p为矢量，也是状态量。 质点的冲量定义 ：I??Fdt，它也是矢量，是过程量。
t1t22 冲力 在解决冲击、碰撞问题时，将两个物体在碰撞瞬间的相互作用力称为冲力，冲力作用时间短，量值变化也很大，所以很难确定每一时刻的冲力，常用平均冲力的冲量来代替变力的冲量 。
3内力和外力 对于质点系，其内部各个质点之间的相互作用力称为内力，质点
系以外的其他物体对其中的任一质点的作用力称为外力。
4功 功率
（1）功 力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。
W??dW??F?dr??Fcos?dr
AABB(2) 功率 功随时间的变化率,反映的是做功的快慢。
dWdt
F?drdrP??F??F?υ?F?cos?
dtdtP?15动能 质量为m的物体，当它具有速度υ时，定义m?2为质点在速度为υ时
2的动能，用Ek表示。
6保守力和非保守力 如果力F对物体做的功只与物体初、末位置有关而与物体所经过的路径无关，我们把具有这种特点的力称为保守力，否则称为非保力。
保守力做功
?F?dl?0 ，非保守力作功 ?F?dl?0 。重力、弹性力、万有引力均
ll为保守力，而摩擦力、汽车的牵引力等都是非保守力。
7势能 系统某点的势能等于在保守力作用下将物体从该点沿任意路径移动到零势能点保守力做的功，用Ep表示。
8机械能，系统的动能和势能统称为机械能，用E表示。
三 基本规律
1 质点的动量定理 ：作用在质点上的合外力的冲量等于质点的动量的增量。即
?t2t1Fdt??dp?p2?p1
p1p2分量形式 ：
?I?t2Fdt?mv?mv2x1x?x?t1x?t2?I??y?tFydt?mv2y?mv1y1??I?t2Fdt?mv?mvzz2z1z?t1??
2 质点系的动量定理 动量守恒定律
（１） 质点系的动量定理 ：作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。
即
?t2t1Fdt??exp2p1p?p2?p1
（2）动量守恒定律：当质点系不受外力或所受合外力为零时，则质点系的总动量
保持不变。 即?Fex=0时 P=恒矢量
3质点的动能定理 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。即
1212W?m?B?m?A?EkB?EkA
224质点系的动能定理 质点系各个质点的合外力功与合内力功之和等于系统动能的增量。即
n112W?W?m??mi?i2????iiii21 i?1,2,???
22i?1i?1i?1i?1exinnnn5功能原理 合外力和非保守内力对系统所做的功等于系统机械能的增量。即
inWex?Wnc??Ek2?Ep2???Ek1?Ep1??E2?E1
6机械能守恒定律 当作用于质点系的外力和非保守内力不做功或所做功的代数和为零时，质点系的机械能保持不变。即
in?0，有Ek2?Ep2?Ek1?Ep1 当Wex?Wnc7 能量守恒定律 对于一个与自然界无任何联系的系统来说，系统内各种形式的能量是可以相互转换的，但是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭。 四 难点解析与问题讨论 １ 关于动量定理的应用
在运用动量定理解题时，要注意以下几点：
（１） 动量定理是一个矢量式，在实际应用时要注意矢量性，即方向性，所以要选择合适的坐标轴，解出质点的始、末状态的动量，并进行投影，特别要注意动量在坐标轴上分量的正负号。
（２）在进行受力解时，如果是变力，则须明确力函数的形式，做好积分。 问题2.1如图2.1所示一圆锥摆，质量为ｍ的小球在水平面内以角速度ω匀速
转动。在小球转动一周的过程中： （１） 小球动量增量的大小等于多少？ （２） 小球所受重力的冲量的大小等于多少？ （３） 小球所受绳子拉力的冲量大小等于多少？
图2.1
解 本题测试的是关于动量和冲量之间的概念。动量的变化：?p?mυ?mυ0；冲量的定义： I??Fdt ；动量定理：?Fdt??dp?p2?p1 本题中，小球转
t1t1p1t2t2p2动一周的过程中，速度没有变化，所以动量的变化为零，小球所受合力的冲量也为零；重力产生的冲量IG?mg?2?? ，由于小球仅受重力和绳子拉力的作用， 所
以拉力产生的冲量大小等于重力产生的冲量大小，两者的方向相反。
2功与能的关系
动能与速度有关，是速度的函数；势能是位置的函数，所以无论是动能还是势能都是物体运动状态的函数。
功是与物体在外力作用下位置移动的过程相联系的，所以功是过程量。 动能定理表达了力对物体的做功过程和对应的初、末两个状态动能增量之间的联系。功能原理表明合外力和非保守内力对系统所做的功等于系统机械能的增量。在物体的实际运动过程中，如果要直接求某个未知的变化的力作的功是很困难的，此时借助动能定理或是功能原理就能很轻易地求得。
问题2.2 一质量为m1的机车，牵引着质量为m2的车厢在平直的轨道上匀速前进。忽然车厢与机车脱钩，等司机发觉时立即关闭油门，此时机车已行驶了一段距离l。求机车与车厢都停止时相距多远？设阻力与车重成正比，脱钩前后机车的牵引力不变。