发布时间 : 星期三 文章非参数统计课件更新完毕开始阅读
垄断与寡头
Q?14560?145602?4?72?15680002?72?14560?27560144
显然，产量不应当为负值，因此，Q=280
就是说，当产量Q=280时，仍可按现行价格每吨100美元销售。而（280－200）÷200=40%，即按现行价格可以增加的销售量的百分率。
假设某垄断市场的需求不仅与价格有关，而且还取决于该垄断厂商的广告活动（广告费用支出用A表示），需求曲线为Q?(20?P)(1?0.1A?0.01A2)。垄断厂商的成本曲线为
TC=10Q＋15＋A。试求：（1）如果该垄断厂商的广告费用支出A为零，求利润最大化时的价
格、产量和厂商相应的利润水平。（2）如果垄断厂商的广告费用支出水平达到最优水平，求此时的价格、产量和厂商相应的利润水平。
（1）如果垄断厂商的广告费用支出为零，则相应的成本曲线和需求曲线分别为TC=10Q＋15和Q=20－P。总收益TR?20Q?Q2，故：MR?dTR/dQ?20?2Q，边际成本MC=10。
厂商利润最大化要求MR=MC，即20－2Q=10，解得Q=5，代入Q=20－P中，得P=15
厂商的利润水平??TR?TC?20?5?5?5?65?10。
（2）已知垄断厂商的市场需求曲线为：Q?(20?P)(1?0.1A?0.01A2) 令K?1?0.1A?0.01A2，又知成本曲线TC=10Q＋15＋A，
则：Q=（20－P）K，TC?(200?10P)K?15?A。垄断厂商的利润水平： ??TR?TC?PQ?TC
?(20?P)KP?(200?10P)K?15?A?(20P?P)K?(200?10P)K?15?A2
求?关于P的一阶导数并使其为零，即令d?/dP?(20?2P)K?10K?0，解得P=15 把P=15代入??(20P?P2)K?(200?10P)K?15?A中，得：
??75K?50K?15?A?25K?15?A。
求?关于A的一阶导数并使其为零，即d?/dA?2.5?0.5A?1?0，得A=3
Q?(20?P)(1?0.1A?0.01A)?5(1?0.3?0.09)?6.05
2??PQ?TC?15?6.05?(10?6.05?15?3)?12.25 因为当垄断厂商的广告费用支出为零时，其利润为10。因此，增加广告费用后利润增加了。 两个寡头所面临的需求曲线为P?a?bQ，其中Q?Q1?Q2，成本函数为
Ci?ai?bi(i?1,2)，a、b、ai、bi为常数。（1）两个寡头联合时的最大产出是多少？
为了联合，每个寡头分别应该生产多少产量。（2）如果两个寡头采取合作策略，寡头1处于领导地位，求出各自均衡产量、利润、市场价格。（3）寡头1愿意出多高的价格兼并另外一个寡头？（北大2000研）
（1）当两个寡头联合使利润极大化，应满足行业的边际收益MR等于行业的边际成本，并且各厂商的边际成本等于行业边际成本来分配产量，由已知条件ai，bi可得： MC1?MC2?0，故MC=0 行业总收益TR?aQ?bQ 行业边际收益MR?a?2bQ
a2b2令MR=MC=0，可解得Q? 即两寡头联合时的最大产出量为
12a
a2b
市场价格为P?a?b(Q1?Q2)?31
垄断与寡头
由于MC1?MC2?MC?0无法确定两厂商的具体产量，只要满足Q1?Q2?利润即为最大。
a2b，行业
（2）由于寡头1处于领导地位，为先行动者，假设其产量为Q1，则寡头2所面临的问题是在给定寡头1的产量下使自身的利润极大化，即解如下的问题：
max?2??a?b(Q1?Q2)?Q2?(a2?b2) d?2dQ2?0，可得寡头2的反应函数Q2?a?bQ12b。在给定寡头2的反应函数，寡头1所面临
max ?1?a?b(Q1???3a4b?d?1aaa?bQ1??0，可得Q1? ,Q2?)?Q1?(a1?b1) 令
2b4bdQ2b?114Q?Q1?Q2?,P?a?bQ?a?1?PQ1?C1?a28b?(a1?b1),?2?a216b?(a2?b2)
（3）如果寡头1兼并寡头2，其愿意的出价应不超过兼并后所增加的利润，兼并的总利润
可以由（1）问的结论直接求得
max???TR?C1?C2?a?a2b?b(a2b)?(a1?b1)?(a2?b2) ?2a24b?(a1?b1)?(a2?b2)
未兼并前如果寡头1处于领导地位，由（2）问的结论知?1?a28b?(a1?b1)
反之，如果寡头1与寡头2处于平等地位，实际上是联立求解以下两个最优化问题。
max?1??a?b(Q1?Q2)?Q1?(a1?b1)max?2??a?b(Q1?Q2)?Q2?(a2?b2)解得Q1?a3b,Q2?a3b ?1?a29b?a1?b1
因为寡头1愿出价为???1。③所以当寡头1处于领导地位时，???1?2a28b?a2?b2当
寡头1与寡头2处于平等地位时，???1?5a36b?a2?b2。
双头垄断企业的成本函数分别为Cl(q1)=20q1，C2(q2)=40q2。市场需求函数为P=200－Q，其中Q=q1+q2。企业1为私有企业，以最大化利润为目标：企业2为国有企业，以最大化社会福利为目标，其中社会福利定义为消费者剩余和两个企业利润之和。
(1)假定两个企业进行古诺(Cournot)竞争，求出古诺均衡情况下各企业的产量、价格、企业1的利润、社会福利。
(2)假定两个企业进行斯坦克尔伯格(Stackelberg)竞争，企业l为领导者，求出均衡情况下各企业的产量、价格、企业1的利润、社会福利。
(3)假定两个企业进行斯坦克尔伯格(Stackelberg)竞争，企业2为领导者，求出均衡情况下各企业的产量、价格、企业1的利润、社会福利。
32
垄断与寡头
(4)假定企业可以选择在时期1或时期2生产。考虑一个两个阶段的博弈。在第一阶段，两个企业同时声明在时期1或时期2生产。在第二阶段，两个企业进行产量竞争，生产时期由第一阶段的声明决定。如果两个企业都选择时期1，那么它们进行古诺竞争；如果选择不同的时期，那么它们进行斯坦克尔伯格竞争。也就是说，企业生产的先后顺序变成内生决定而不再是外生的。列出该博弈的报酬矩阵，并决定内生时间顺序。如果存在多重均衡，指出是否某一均衡帕累托占优于其他均衡。（中央财大2007研）
解：（1）企业1的利润为：?1?P?q1?C(q1)?(200?q1?q2)q1?20q1 利润最大化的一阶条件为：
??1?q1?180?2q1?q2?0
所以企业1的最优反应函数为：q1?180?q22 ①
企业2的利润为：?2?P?q2?C(q2)?(200?q1?q2)q2?40q2 对于线性需求曲线而言，消费者剩余为：CS?112(q1?q2)2
因此整个社会福利为：W??1??2?CS??(q1?q2)2?180q1?160q2
2因而企业2的最优化问题的一阶条件为：
?W?q2??(q1?q2)?160?0
企业2的最优反应函数为：q2?160?q1 ② 由①②两式可得，q1?20，q2?140 市场价格为：P=200-160=40
企业1的利润为：?1?40?20?20?20?400
社会福利为：W???1602?180?20?160?140?13200
21（2）假定两个企业进行斯坦克尔伯格竞争，企业l为领导者，假设企业1的产量为q1，则由（1）可得，企业2的反应函数为：q2?160?q1，因而有：q2?q1?160，因此市场价格P=200-160=40。代入企业1的利润函数可得：?1?P?q1?C(q1)?20q1。因此，企业1为了实现自身利润最大化，将生产q1?160，从而企业2的产量q2?0。
企业1的利润为：?1?20?160?3200 社会福利为：W???1602?180?160?16000
21（3）假定两个企业进行斯坦克尔伯格竞争，企业2为领导者，则由（1）可得，企业1的反应函数为：q1?180?q222W??0.5(90?0.5q2)?70q2?16200 ，代入社会福利函数可得：
33
垄断与寡头
企业2最优化问题的一阶条件为：
?W?q2??0.5(90?0.5q2)?70?0
解得企业2的产量为：q2?100 因而企业1的产量为：q1?40 市场价格为：P=200-140=60
企业1的利润为：?1?60?40?20?40?1600
社会福利为：W??0.5?(90?50)2?70?100?16200?13400 （4）该博弈的支付矩阵为：
博弈支付矩阵可知，该博弈存在两个纯策略纳什均衡为：（时期1，时期2），（时期2，时期1），即两个企业选择分别在不同的时期生产。此外，该博弈还存在一个混合策略纳什均衡为：（p=
115，q=0.9）。其中策略（时期1，时期2）帕累托优于策略（时期2，时期1）。
某一市场需求函数如下：p=100－0.5（q1＋q2）
2在该市场上只有两家企业，他们各自的成本函数为：c1?5q1 c2?0.5q2
（1）在斯塔格博格模型（Stackelberg model）中，谁会成为领导者？谁会成为追随者？
（2）该市场最后的结局是什么？为什么？（北大2000研） （1）先求古诺均衡：
max?1(q1,q2)?(100?0.5q1?0.5q2)q1?5q1使得q1?95?0.5q2
q1max?2(q1,q2)?(100?0.5q1?0.5q2)q2?0.5q2使得 q2?50?0.25q1
q22?q1?95?0.5q2 由?得q1=80，q2=30。
q?50?0.25q1?2对于任何先行动者来说，必须有q1?80，q2?30。
要使企业1成为领导者，其必须条件是对任何企业2的先行产量决策，企业1均采取战略使对方利润为负：
即：?1(q1,q2)?(100?0.5q1?0.5q2)q1?5q1?0
?2(q1,q2)?(100?0.5q1?0.5q2)q2?0.5q2?0 ?200?2q2?q1?190?q2，
22对于企业2的任何产量先行决策q2>10，只要企业1威胁其产量q1满足上式，则企业2不敢先行动，而q2<10，与先行动者的q2?30矛盾。当企业1先行动时，企业2决策:
34