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考核课程 时间序列分析（B卷） 考核方式 闭卷 考核时间 120 分钟
注：B为延迟算子，使得BYt?Yt?1；?为差分算子，。
一、单项选择题（每小题3 分，共24 分。）
1. 若零均值平稳序列?Xt?，其样本ACF和样本PACF都呈现拖尾性，则对?Xt?可能建立（ B ）模型。
A. MA(2) B.ARMA(1,1) C.AR(2) D.MA(1)
2.下图是某时间序列的样本偏自相关函数图，则恰当的模型是（ B ）。
(1,1) D.MA(2) A. MA(1) B.AR(1) C.ARMA
3. 考虑MA(2)模型Yt?et?0.9et?1?0.2et?2，则其MA特征方程的根是（ C ）。
（A）?1?0.4,?2?0.5 （B）?1??0.4,?2??0.5 （C）?1?2，?2?2.5 （D） ?1??2，?2?2.5
4. 设有模型Xt?(1??1)Xt?1??1Xt?2?et??1et?1，其中?1?1，则该模型属于（ B ）。 A.ARMA(2,1) B.ARIMA(1,1,1) C.ARIMA(0,1,1) D.ARIMA(1,2,1)
5. AR(2)模型Yt?0.4Yt?1?0.5Yt?2?et，其中Var(et)?0.64，则E(Ytet)?（ B ）。 A.0 B.0.64 C. 0.16 D. 0.2
6.对于一阶滑动平均模型MA(1): Yt?et?0.5et?1，则其一阶自相关函数为( C )。 A.?0.5 B. 0.25 C. ?0.4 D. 0.8
7. 若零均值平稳序列??Xt?，其样本ACF呈现二阶截尾性，其样本PACF呈现拖尾性，则可初步认为对?Xt?应该建立（ B）模型。
A. MA(2) B.IMA(1,2) C.ARI(2,1) D.ARIMA(2,1,2)
8. 记?为差分算子，则下列不正确的是（ C ）。
22A. ?Yt??Yt??Yt?1 B. ?Yt?Yt?2Yt?1?Yt?2
k??Xt??Yt C. ?Yt?Yt?Yt?k D. ?(Xt?Yt）二、填空题（每题3分，共24分）；
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1. 若?Yt?满足： ?12?Yt?et??et?1??et?12???et?13， 则该模型为一个季节周期为
s?__12____的乘法季节ARIMA(0,_1_,1)?(_0_,1,1)s模型。 2.
时间序列
?Yt?的周期为s的季节差分定义为：
?sYt?_____Yt?Yt?s________________________。
3. 设ARMA (2, 1)：Yt?Yt?1?0.25Yt?2?et?0.1et?1
则所对应的AR特征方程为___1?x?0.25x2?0_____________，其MA特征方程为________1?0.1x?0_____________。
4. 已知AR（1）模型为：xt?0.4xt-1??t，?t~WN(0,??2)，则E(xt)=_______0_____________, 偏自相关系数?11=________0.8__________________，?kk=________0__________________（k>1）； 5.设?Yt?满足模型：Yt?aYt?1?0.8Yt?2?et，则当a满足______?0.2?a?0.2__________时，模型平稳。
6.对于时间序列Yt?0.9Yt?1?et,et为零均值方差为?e2的白噪声序列，则
Var(Yt)=_______
?e21?0.81____________________。
7.对于一阶滑动平均模型MA(1): Yt?et?0.6et?1，则其一阶自相关函数为_______________
8.一个子集ARMA (p,q)模型是指_形如__ARMA(p,q)模型但其系数的某个子集为零的模型_。
?0.6________________________________。
1?0.36
三、计算题（每小题
5分，共10分）
已知某序列?Yt?服从MA(2)模型：
Yt?40?et?0.6et?1?0.8et?2 ，若?e2?20,et?2,et?1??4,et?2??6
（a)预测未来2期的值；
（b)求出未来两期预测值的95%的预测区间。
??1??E(YY,Y,???Y)?E((40?e?0.6e?0.8eY,Y,???Y)?40?0.6e?0.8e 解：（1）Ytt?112tt?1tt?112ttt?1 =40?0.6?2?0.8?(?4)?35.6
??2??E(YY,Y,???Y)?E((40?e?0.6e?0.8eY,Y,???Y)?40?0.8e Ytt?212tt?2t?1t12tt =40?0.8?2?41.6
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（2）注意到Var[et?l?]????2j，l?1。因为?2ej?0l?10?1,?1??0.6,故有
Var[et?1?]?20，Var[et?2?]?20(1?0.36)?27.2。未来两期的预测值的95%的预测区间为:
?Y??l??zt0.025??l??zVar?et?l??,Yt0.025Var?et?l???，其中z0.025?1.96,l?1,2。代入相应数据得未来两
期的预测值的95%的预测区间为：
未来第一期为： (35.6?1.9620,35.6?1.9620)，即 (26.8346, 44.3654)； 未来第二期为： (41.6?1.9627.2,41.6?1.9627.2)，即(31.3779, 51.8221)。
四、计算题（此题10分）
设时间序列{Xt}服从AR(1)模型：Xt??Xt?1?et，其中{et}是白噪声序列，E(et)?0,Var(et)??e2
x1,x2(x1?x2)为来自上述模型的样本观测值，试求模型参数?,?e2的极大似然估计。
2?2?x1x2 解：依题意n?2，故无条件平方和函数为 S(?)??(x2??x1)2?(1??2)x12?x12?x2t?22 易见(见p113式(7.3.6)）其对数似然函数为 ?(?,?e)??log(2?)?log(?e)?2211log(1??2)?S(?) 222?e2?x12?x2?2?x1x22???(?,?)???e?0?2?2???e所以对数似然方程组为?，即?2?2???2x1x2?0???(?,?e)?02??e2??1?????2e2x1x2????2?x12?x2?。解之得?。 222x?x????2?1222?2x1?x2?????
五、计算题（每小题6分，共12分）
判定下列模型的平稳性和可逆性。
(a) Yt?0.8Yt?1?et?0.4et?1 (b)Yt?0.8Yt?1?1.4Yt?2?et?1.6et?1?0.5et?2 解：（a)其AR特征方程为： 1?0.8x?0，其根x?1.25的模大于1，故满足平稳性条件，该模型平稳。
其MA特征方程为：1?0.4x?0，其根x?2.5的模大于1，故满足可逆性条件。该模型可逆。
综上，该模型平稳可逆。
0.8?0.64?5.6x?1,2（b) 其AR特征方程为： 1?0.8x?1.4x2?0，其根为，故其根的模为2?1.45.6小于1，从而不满足平稳性条件。该模型是非平稳的。 2?1.4第 3 页（共 4 页）
MA特征方程为：1?1.6x?0.5x2?0，其有一根不满足可逆性条件。所以该模型不可逆。 综上，该模型非平稳且不可逆。
x??1.6?2.56?2的模小于1，故2?0.5六、计算题（每小题5分，共10分）
某AR模型的AR特征多项式如下：
(1?1.7x?0.7x2)(1?0.8x12) （1) 写出此模型的具体表达式。 （2) 此模型是平稳的吗?为什么？ 解：（1）该模型为一个季节ARIMA模型，其模型的具体表达式是（其中B为延迟算子） (1?1.7B?0.7B2)(1?0.8B12)Yt?et
或者 Yt?1.7Yt?1?0.7Yt?2?0.8Yt?12?1.36Yt?13?0.56Yt?14?et。
（2）该模型是非平稳的，因为其AR特征方程(1?1.7x?0.7x2)(1?0.8x12)=0有一根x?1的模小于等于1，故不满足平稳性条件。
七、计算题（此题10分）
设有如下AR(2)过程： Yt?0.7Yt?1?0.1Yt?2?et，et为零均值方差为 1 的白噪声序列。 (a) 写出该过程的Yule-Walker方程，并由此解出?1,?2；（6分） (b) 求Yt的方差。（4分）
解答：（a)其Yule-Walker方程（见课本P55公式（4.3.30））为:
?0.7?0.1?1??1 ?
0.7??0.1??12?719,?2?。 1155(b）由P55公式（4.3.31）得
解之得 ?1??e21162。 Var(Yt)??0???1?0.7?1?0.1?21?0.7?7?0.1?192751155
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