发布时间 : 星期三 文章(优辅资源)上海市崇明县高考数学一模试卷 Word版含解析更新完毕开始阅读
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19．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣
=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的
直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°． （1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求
?
的值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． M的坐标分别为【分析】（1）设F2，
，求出|MF2|，
Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，求出|MF1|，利用双曲线的定义，即可求双曲线C的方程；
（2）求出两条渐近线方程，可得点Q到两条渐近线的距离，设两渐近线的夹角为θ，可得
，利用向量的数量积公式，即可求
?
的值．
，
，即，所以
【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为因为点M在双曲线C上，所以在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，由双曲线的定义可知：
，所以…
，
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故双曲线C的方程为：…
…
（2）由条件可知：两条渐近线分别为
设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ， 则
点
Q
到
两
条
渐
近
线，…
的
距
离
分
别为
因为Q（x0，y0）在双曲线C：所以所以 20．设
（a，b为实常数）．
=﹣
，又cosθ=﹣，
上，
…
（1）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数； （2）设f（x）是奇函数，求a与b的值；
（3）当f（x）是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D，对任何属于D的x、c，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立？若存在试找出所有这样的D；若不存在，请说明理由．
【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．
【分析】（1）举出反例即可，只要检验f（﹣1）≠﹣f（1），可说明f（x）不是奇函数；
（2）由题意可得f（﹣x）=﹣f（x），即实数x成立．整理可求a，b （3）当
时，
，由指数函数的性质可求f（x），由
对定义域内任意
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二次函数的性质可求当
时，
，可求
，当x＞0时，
，结合二次函数的性质可求c2﹣3c+3的范围，即可求解
，
，；
当x＜0时，
【解答】解：（1）举出反例即可．
，
所以f（﹣1）≠﹣f（1），f（x）不是奇函数； （2）f（x）是奇函数时，f（﹣x）=﹣f（x），即内任意实数x成立．
化简整理得（2a﹣b）?22x+（2ab﹣4）?2x+（2a﹣b）=0，这是关于x的恒等式，所以
所以
或
． 经检验都符合题意．
对定义域
（3）（本小题评分说明：这里给出的是满分结论，对于写出部分解答的考生，应视答题正确程度适当给分，具体标准结合考生答题情况制订细则） 当
时，
，
因为2x＞0， 所以2x+1＞1，而
，从而
；
对任何实数c成立；
所以可取D=R对任何x、c属于D，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立． 当
时，
；
；
，
所以当x＞0时，当x＜0时，
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1）因此取D=（0，+∞），对任何x、c属于D，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立． 2）当c＜0时，c2﹣3c+3＞3，解不等式所以取
21．已知数列{an}，{bn}满足2Sn=（an+2）bn，其中Sn是数列{an}的前n项和． （1）若数列{an}是首项为，公比为﹣的等比数列，求数列{bn}的通项公式； （2）若bn=n，a2=3，求证：数列{an}满足an+an+2=2an+1，并写出数列{an}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设cn=
，
得：
．
c，fx） ．，对任何属于D的x、都有（＜c2﹣3c+3成立．
求证：数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积． 【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】（1）通过数列{an}是首项为，公比为然后求解
．
的等比数列求出通项公式，
（2）若bn=n，通过an=Sn﹣Sn+1，得到递推关系式，化简推出数列{an}是首项为2公差为1的等差数列，求出通项公式． （3）由（2）知得cn=ck?ct，证明
，对于给定的n∈N*，若存在k，t≠n，且t，k∈N*，使
，构造
，然后证明数列{cn}中的任意
一项总可以表示成该数列其他两项之积．
【解答】解：（1）因为数列{an}是首项为，公比为所以
，
…
的等比数列
所以…
（2）若bn=n，则2Sn=（an+2）n，所以2Sn+1=（n+1）（an+1+2）