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第二章 群论
近世代数习题第二章 第一组 1-13题；第二组 14-26题；第三组 27-39题；第四组 40-52
题，最后提交时间为11月25日
1、设G是整数集，则G对运算 a?b?a?b?4 是否构成群？
2、设G是正整数集，则G对运算 a?b?a 是否构成群？
3、证明：正整数对于普通乘法构成幺半群.
4、证明：正整数对于普通加法构成半群，不含有左右单位元. 5、G是整数集，则G对运算 a?b?1 是否构成群？
6、设a,b是群G中任意两元素. 证明：在G中存在唯一元素x，使得axba?b. 7、设u是群G中任意取定的元素，证明：G对新运算a?b?aub也作成群. 8、证：在正有理数乘群中，除1外，其余元素阶数都是无限.
9、证：在非零有理数乘群中，1的阶是1，-1的是2，其余元素阶数都是无限. 10、设群G中元素a阶数是n，则 a?e?n|m.
11、设群G中元素a阶数是n，则 |a|?mbmn.，其中k为任意整数. (m,n) 设（m,n）=d,m=dk,n=dl,(k,l)=1. 则(a^m)^l=a^(ml)=a^(kdl)=(a^(n))^k=e. 设（a^m）
^s=e,，即a^(ms)=e,所以n|ms,则l|ks,又因为(l,k)=1，所以l|s,即a^m的阶数为l.
12、证明：在一个有限群中，阶数大于2的元素个数一定是偶数. 13、设G为群，且|G|?2n，则G中阶数等于2的一定是奇数. 14、证明：如果群G中每个元素都满足x?e，则G是交换群.
对每个x，从x^2=e可得x=x^(-1)，对于G中任一元x，y，由于（xy）^2=e，所以xy=（xy）^(-1)=y^(-1)*x(-1)=yx.
或者 :(ab)(ba)=a(bb)a=aea=aa=e ，故(ab)的逆为ba，又(ab)(ab)=e，这是因为ab看成
G中元素，元素的平方等于e. 由逆元的唯一性，知道ab=ba
215、证明：n阶群中元素阶数都不大于n.
16、证明：p阶群中有p?1个p阶元素，p为素数. 17、设群G中元素a阶数是n，则 a?a?n|(s?t). 18、群G的任意子群交仍是子群.
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19、设G为群，a,b?G，证明：(bab?1)k?bab?1?ak?a. 20、证明：交换群中所有有限阶元素构成子群. 21、证明：任何群都不能是两个真子群的并.
证明：任何群都不能是两个真子群的并. 可以用反证法，设G=HUK，H、K均为真子群，存
在a,b\\in G, a\\not\\in H,b\\not\\in K ,从而a\\in K, b\\in H. ab\\in G, 则ab\\in H或ab\\in K. 若ab\\in H得出矛盾，ab\\in K，也可得出矛盾.
22、设G为群，H?G,a?G,am,an?H，证明：若(m,n)?1，则a?H. 23、证明：整数加群是无限循环群. 24、证明：n次单位根群为n阶循环群. 25、证明：循环群的子群仍是循环群.
26、设G??a?为6阶循环群，给出它的所有生成元及所有子群. 27、求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元. 28、设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为？
28、解： 在群G中，对于ㄧaㄧ=n，a^r∈G，有ㄧa^rㄧ=n/（n，r），所以由 ㄧaㄧ=6 可得：ㄧa^2ㄧ=6/(6,2)=3.
29、设H1和H2分别是群（G，?，e）的子群，并且| H1 |＝m，| H2 | ＝n，m、n有限，（m，n）＝1，试证：H1∩H2＝｛e｝.
30、设群中元素a的阶数为无限，证明：?a???a??s??t. 31、设群中元素a的阶数为n，证明：?as???at??(s,n)?(t,n).
32、设G是交换群，e是G的单位元，n是正整数，H?{a|a?G,an?e},问：H是否是G的子群？为什么？
32解：H是G的子群. 下证：① 由e∈H，故H为非空子集；
②对于任意a，b∈H，a^n=e，b^n=e，故[b^(-1)]^n=e，因为G是交换群，所以有：(a^n)* ﹛[b^(-1)]^n﹜=aa···a*[b^(-1)] [b^(-1)]···[b^(-1)]= ﹛a[b^(-1)] ﹜^n=e，从而a[b^(-1)] ∈H，故 H是G的子群. 证毕.(注：刚才a和[b^(-1)]展开均为n个相乘)
33、设群G中两元素满足ab?ba,(|a|,|b|)?1，证明：?a,b???ab?.
st1?1?,?,,??是有理数加群的一个生成系.
n!??235、设a,b是群G的两个元，ab?ba,a的阶是m，b的阶是n，m,n有限且(m,n)?1,H?(a),K?(b)，求H?K
34、证明：?1,36、设S3是3次对称群，a=（123）∈S3． (1) 写出H＝< a>的所有元素．
(2) 计算H的所有左陪集和所有右陪集． (3) 判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．
37、在5次对称群S5中，求（12）（145），（4521）1以及（354）的阶数.
－
37、解： （12）（145）的阶数为[2,3]=6 ； （4521）1的阶数为4 ； （354）的阶数
－
为3.
38、设G是一交换群，n是一正整数，H是G中所有阶数是n的因数的元素的集合. 试问：H是否是G的子群？为什么？
39、设|M|?1，证明：M的全体变换作成一个没有单位元的半群. 40、设|M|?1，证明：M的全体非双射变换关于变换的乘法不作成群. 41、证明：不相连的循环相乘可以交换. 42、将S3所有元素用循环表示. 43、将S4所有元素用循环乘积表示.
(1)
(12), (13),(14),(23),(24),(34)
(123),(124),(134),(132),(142),(143),(234),(243) (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432), (12)(34),(13)(24),(14)(23)
44、S3中不能同(123)交换的所有元素. 45、写出S5中阶数等于2的所有元素. 46、置换?与其逆??1具有相同的奇偶性.
置换\\delta=\\delta_1\\delta_2\\cdots\\delta_s,\\delta_i 为对换，又因为（\\delta_1\\delta_2\\cdots\\delta_s）（\\delta_s\\delta_(s-
1)\\cdots\\delta_1）=(1),从而得到\\delta^{-1},进而得证结果.
47、求下列置换的阶数
?123456??(3172)(48)(5172)(26) ；；??641523?.
??48、设H＝｛（1），（123），（132）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S3的不变子群？为什么？ 49、给出S4的所有子群.
50、证明：无限循环群的非e子群指数均有限.
H\\not={e},H=(a^s)为G的子群，其中s为H中所含元素的指数最小正整数. 证明G=a^0HUaHU\\cdotsUa^{s-1}H,且a^iH与a^jH煤油交集，i\\not=j.
51、设G是整数集，规定a?b?a?b?3，证明：G关于此运算构成群，并求出单位元. 52、证明：指数是2的子群必是正规子群.
53、证明：素数阶群是循环单群.
54、设N??a?是群G的一个正规子群，若H?N，则H也是G的正规子群. 55、证明：若群G的n阶子群有且仅有一个，则此子群必为G的正规子群. 56、四次对称群S4关于Klein四元群K4的商群S4/K4与S3同构. 57、证明：群中子群的共轭关系是一个等价关系. 58、证明：Sn的所有对换构成一个共轭类. 59、写出S3的所有Sylow p-子群. 60、证明：15阶群都是循环群. 61、证明：200阶群不是单群.
62、证明：196阶群必有一个阶数大于1的Sylow子群，此子群为正规子群.
28、解： 在群G中，对于ㄧaㄧ=n，a^r∈G，有ㄧa^rㄧ=n/（n，r），所以由 ㄧaㄧ=6 可得：ㄧa^2ㄧ=6/(6,2)=3.
32解：H是G的子群. 下证：① 由e∈H，故H为非空子集；
②对于任意a，b∈H，a^n=e，b^n=e，故[b^(-1)]^n=e，因为G是交换群，所以有：(a^n)* ﹛[b^(-1)]^n﹜=aa···a*[b^(-1)] [b^(-1)]···[b^(-1)]= ﹛a[b^(-1)] ﹜^n=e，从而a[b^(-1)] ∈H，故 H是G的子群. 证毕.(注：刚才a和[b^(-1)]展开均为n个相乘)
37、解： （12）（145）的阶数为6 ； （4521）
－1
的阶数为4 ；（354）的阶数为3.