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46 第三章 扭 转
3.5 扭转专题简介 一、矩形截面杆的自由扭转
工程实际中，有时会遇到非圆截面杆的扭转问题。这类杆件在扭转时，横截面不再保持为平面，而要产生翘曲（图3.15）。因此，根据平面假设建立的圆轴扭转公式是不适用的。本节将简要介绍矩形截面杆的自由扭转。自由扭转是指扭转时杆的端面及其他部位不受任何约束，这时各横截面的翘曲程度相同，杆的纵向纤维长度保持不变，横截面上只有切应力而无正应力。
弹性力学的分析结果表明，矩形截面杆自由扭转时，横截面上切应力的分布情况如图3.16所示。由该图知：（1）周边上各点的切应力与周边相平行，角点处的切应力为零。这一结论由切应力互等定理可以直接推知；（2）最大切应力?max发生在长边的中点，短边中点处的切应力?1也有相当大的数值。切应力及扭转角的计算公式如下：
?max?TWpTlGIp；?1???max；?? （3-21a,b,c）
式中l是杆长，Wp??hb2，h和b分别为矩形截面长边与短边的长度，Wp称为相当抗扭截面模量；Ip??hb3，称为相当极惯性矩。系数?、?、?与比值hb有关，其值见表3-1。
?1
图3.15
bh
?max
图3.16
图3.17
表3-1 矩形截面杆的扭转系数
hb 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 ∞ ? 0.208 0.219 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333 0.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333 1.000 0.930 0.858 0.796 0.767 0.753 0.745 0.743 0.743 0.743 0.743 ?10? ? 由上表可以看出，对h/b
的狭长矩形截面，????1/3。若以t表示狭长矩形短边的
第三章 扭 转 47
长度，则有
?max?TWp?TtIp,(Wp?13ht,Ip?213ht)3; ??TLGIp （3-22a,b）
狭长矩形截面上的切应力分布如图3.17所示，沿长边各点的切应力基本相等。 二、闭口薄壁杆的自由扭转
为减轻重量，工程中常采用薄壁杆件，其横截面可分为开口（图3.18a, b）和闭口（图3.18c, d）两种形式。由于开口薄壁杆件的抗扭性能很差，本节只简要讨论闭口薄壁杆的自由扭转。
(a)(b)(c)(d)
图3.18
分析图3.19a所示壁厚可变的闭口薄壁杆。由于杆壁很薄，可以近似认为切应力沿壁厚均匀分布；根据切应力互等定理，又可以推知切应力方向应平行于周边或切于截面的中心线（壁厚的平分线）。
rds
oT (c)
图3.19
用相距dx的两个横截面以及垂直于截面中心线的两个纵向面，从杆中切取如图3.19b所示的单元体。设1-1处杆壁厚为t1，横截面上的切应力为?1；2-2处杆壁厚t2，横截面上的切应力为?2。根据切应力互等定理知，纵向面1-1与2-2上的切应力分别等于?1和?2，由单元体在x方向平衡条件知
?1t1dx??2t2dx??1t1??2t2??t?const （3-23）
上式表明，横截面上任意点的切应力与壁厚之积等于常量，乘积?t称为剪力流。所以，当变壁厚闭口薄壁杆自由扭转时，横截面上的切应力值随壁厚而变，其最大值发生在壁厚最小处。
为推导切应力?的计算公式，在截面中心线上取微弧长ds，在微面积tds上，作用有微力?tds，其方向与中心线相切（图3.19c）。由静力学关系，横截面上的微力对截平面内任一点o的力矩之总和等于截面上的扭矩T，即
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T?s第三章 扭 转
???tds?r??t??srds
式中s为横截面中心线的周长，r为o点到微弧段ds的垂直距离。注意到rds等于图中阴影三角形面积的二倍，并令A为横截面中线所围的面积，有
??Tt??rdss?T2At 及 ?m?tdsdxa?xT2Atmin （3-24a,b）
对于图3.19b所示的微体，微体积dVdU?12，弹性应变能为（关于应变能详见第八章）
?2??dV?2Gtdsdx
根据能量守恒，扭矩在扭转角上所作的功应等于整个杆件的应变能，即求得闭口薄壁杆的扭转角?，即
12T??222???2Gtdsdx?8GA??l2?Tldst ???TlGIt,其中It?4A??dst （3-25）
三、圆轴的弹塑性扭转
对于有较长屈服阶段，或强化现象不明显的塑性材料，可以采用理想弹塑性材料模型，其应力-应变关系曲线如图3.20所示。在线弹性阶段，圆轴扭转切应力按公式（3-7）计算
T?Ip?
o???
塑性区?s弹性区?s?sa?srTsTTu?s图3.20
?Ts?T?Tu
(a)(b)(c)
图3.21
随着扭矩逐渐增大，截面边缘处的最大切应力?max首先达到材料的剪切屈服极限?（图3.21a）。s此时的扭矩值称为屈服扭矩，用Ts表示。根据式（3-8），Ts之值为
Ts?Wp?s?π2r?s
3 （3-26）
若继续加大扭矩，横截面上的屈服区逐渐扩大，弹性区逐渐缩小，如图3.21b所示。这时扭矩T可分为两部分，弹性区（0???a）负担的扭矩为πa3?s/2，塑性区（a???r）负担的扭矩为
2π3?因此，整个截面上的扭矩
ra2π??sd??2(r?a)?s33
第三章 扭 转
T?πa2349
?s?2π3(r?a)?s33 （3-27）
继续加大扭矩，塑性区将会继续扩大，直到a = 0，如图3.21c，则上式变为
Tu?2πr33?s （3-28）
Tu称为极限扭矩。扭矩达到Tu时、整个横截面都处于屈服状态，轴将发生显著的塑性变形，
即屈服失效。对比（3-26）、（3-28）两式，可得极限扭矩Tu为屈服扭矩Ts的1.33倍。
思 考 题
3-1 圆轴扭转切应力公式是如何建立的？基本假设是什么？
3-2 下列实心与空心圆轴的扭转切应力分布图是否正确？其中T为横截面上的扭矩。
TTTT
(a)(b)(c)(d)
思考题3-2图
3-4 相对扭转角的正负号与扭矩的符号是怎样规定的？
3-5 若将圆轴的直径增大一倍，其他条件不变，问最大切应力和扭转角将如何变化？ 3-6 进行强度校核时，应该求哪些截面上哪些点的切应力？进行刚度校核时，应该求轴上哪一段的单位长度扭转角？
3-7 受扭空心圆轴要比实心圆轴节省材料的原因是什么?
3-8 矩形截面杆的扭转与圆轴扭转有什么不同？其横截面上的应力分布有什么特点。
习 题
3-1 试作图示各轴的扭矩图。
习题3-1图
(c)1kN.m1kN.m3kN.m0.5kN.m0.5kN.m2kN.m4kN.m2kN.m(b)3kN.m2kN.m(a)aaaa
m0(d)aaaaaa