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38 第三章 扭 转
计算公式， （1）几何方面
取一半径为R的圆轴做扭转试验，先在轴表面画上纵向线和圆周线（图3.9a），然后在轴两端施加一对等值反向的扭力偶矩M0，可以观察到：各圆周线的尺寸、形状和相邻两圆周线的间距均保持不变；在小变形条件下，各纵向线仍近似地是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度（图3.9b）。由此，可假设圆轴的横截面如同刚性平面一样绕其轴线转动，即圆轴的横截面在变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持直线，且相邻两横截面间的距离不变。这就是圆轴扭转的平面假设。
为求得横截面上的应力，先要分析轴内各点处的变形。为此，设从轴中截取长为dx的微段（图3.10a）、并在其中再切取一楔形体（图b）进行几何分析，图中的虚线为变形后的几何构形。由平面假设可知，变形后截面2-2相对于截面1-1刚性转动了一角度d?，故截面2-2上的两条半径o2c和o2d都分别旋转了同一角度d?至o2c?和o2d?，于是，矩形abdc变成平行四边形abd?c?（图b），其纵线的斜倾角?cac???，即为轴表面上任一点a处的、与横截面垂直的切应变。同时，在距轴线?处、矩形efhg也变成平行四边形efh?g?，且都垂直于横截面，即轴内任一点e处的、与横截面垂直的切应变为????geg?。由图中的几何关系求得
???tan???g?geg?M0(a)图3.9
(b)M0dxo1?M01j2RaM0egfjj??d?o2ghg?d?dx2(a)图3.10
ch?1c?gbdd?(b)?d?dx （a）
式中d?/dx为单位长度上的扭转角。在同一截面上，d?/dx为一常量，所以，切应变??正比于该点到轴线的距离?。 （2）物理方面
依剪切胡克定律，在线性弹性范围内，切应力与切应变成正比，将式（a）代入到式（3-4），
第三章 扭 转 39
得
???G???G?d?dx （b）
即轴内一点的切应力??与该点到轴心的距离?成正比。由于切应变??发生在与半径垂直的平面内，故切应力必在半径平面内，即横截面内，且方向与半径垂直（图3.11a）。此外，由切应力互等定理（式（3-5）知，纵、横截面上的切应力分布规律如图3.11b所示。
（3）静力学方面
式（b）中d?/dx尚未求出，需要进一步考虑静力学关系。在轴的横截面上取微面积dA，其上的微内力为??dA（图3.11b）。所有微内力对轴心力矩的总和，等于该截面上的扭矩T，即
??dA???T
dATrToo??A???max(a)(b)图3.11
??式中Ip?A将式（b）代入上式，并将常量G、d?/dx提到积分号外，即
A??dA???Gd?dx?A?dA?GIp2d?dx?T （c）
?A2。由上式得 ?dA，是截面的几何参数，称为截面对形心的极惯性矩（见附录A）
d?dx?TGIp （3-6）
代入到式（c），得切应力的计算公式
???T?Ip （3-7）
可见切应力的大小与极径?成正比，在横截面周边各点处，即??R，切应力达到最大值
?max?TRIp?TWp （3-8）
式中
Wp?IpR （3-9）
4Wp称为抗扭截面模量（系数）。Ip和Wp都是几何量，他们的量纲分别为[长度]
、[长度]。
3
40 第三章 扭 转
以上由实心圆轴得到的扭转切应力公式对空心圆轴亦适用。 二、极惯性矩和抗扭截面模量的计算
t?d?R0
D(a)dD(b)图3.12
(c)
对于直径为D的实心圆截面，微面积dA取为距圆心?、厚度为d?的环形（图3.13a），有dA?2π?d?，有
Ip??A?dA?2?D202π?d??3πD324 （3-10）
相应的Wp为
Wp?IpR?πD/32D24?πD163 （3-11）
空心圆截面（图3.12b）的，极惯性矩和抗扭截面模量可用相同的方法求得，其结果为
Ip?πD32IpR4?πd432πD163?πD324(1??)4 （3-12）
Wp???(1??)4 （3-13）
式中，??d/D，为内径与外径之比。
(a)如果薄壁圆环截面的壁厚t与其平均半径R0之比t/R0?1/10（图3.12c），由以上的公式可以导出式（3-2），请读者完成推导。 三、斜截面上的应力
(c)(b)45°
图3.13
第三章 扭 转 41
扭转试验表明，钢制圆轴在横截面处破坏（图3.13b），而铸铁轴在与轴线成45?斜角的螺旋面断开（图3.13c）。为了探其究竟，需要研究轴内任一点处斜截面上的应力。为此，从受扭圆轴表面处用横截面、径向截面以及与表面平行的柱面截取一微小的立方体，称为单元体或微体（图3.13a）。根据前面的分析，如图3.13b所示，微体的左、右侧面（轴的横截面）只有切应力?；上、下面有切应力?（切应力互等）、无正应力；前（轴表面）、后面无任何应力。故微立方体可以画成图示平面微元的形式，且处于纯剪切应力状态。
b(b)M0abaddc(a)M0xad?min???n?45???a???e(c)t?45?xbcec?b图3.13
?max 图3.14 为得到任意斜截面ae上的应力，用截面法将微体沿斜截面ae切开，斜截面的法线与轴线成?角。研究截开后左边部分的平衡（图3.13c），设斜面ae的面积为dA，其上作用有待求的正应力??与切应力??，分别由其沿斜面法向n和切向t的平衡方程
?Fn?0?Ft?0????dA?(?dAcos?)sin??(?dAsin?)cos??0 ??dA?(?dAcos?)cos??(?dAsin?)sin??0
经整理得
?????sin2?,????cos2? （3-14）
??45?上式表明，斜截面上的应力随斜角?变化。当?时，??取得极值?max???45????，
并且有??45??0；当??0?或90?时，??取得极值，且有?0???，?90????（图?min???45????，
3.14），这里斜角?与切应力?的符号规定同前（2.2节）。可见，纯剪切相当于一个（45?）方向为拉应力（其值为?）、另一垂直方向为等值压应力所形成的应力状态（图3.14），反之亦然。
现在可以解释圆轴扭转时的破坏现象：钢（或其他塑性材料）轴在横截面处破坏，是截面上的切应力达到极限值、而被剪断的，说明这类材料的剪切强度低于拉压强度。而铸铁轴则是在斜角为?45?的螺旋面被拉断的，因为??45???max??，再次说明像铸铁这类脆性材料的拉伸强度最弱，这种破坏形式很容易用一支粉笔受扭验证。