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第三章 扭 转
如果一直杆所受的外载是垂直于杆轴线平面内的力偶，或者说外力偶的矢量方向沿杆的轴线，杆即发生扭转变形。这时将外力偶之矩称为扭力偶矩或扭力矩，将以扭转变形为主要变形的（圆截面）直杆称之为（圆）轴。工程中最常见的是圆轴，如图3.1所示的汽车转向轴，又如图3.2a中的传动轴等。
最简单的受扭圆轴的计算简图如图3.2b和图3.3所示，其受力、变形特点是：在杆的两端作用有一对等值反向的扭力矩M0，使杆的各横截面绕其轴线发生相对转动，即扭转变形。任意两横截面相对转过的角度，称为两截面的相对扭转角，用?表示。在图3.3中，?AB表示截面B相对于截面A的扭转角。
图3.3
图3.1
图3.2
M0?ABM0AB
本章主要研究圆轴的扭转问题。在最后一节里，将对矩形截面杆、薄壁杆的自由扭转及轴的弹塑性扭转作一简单介绍。
3.1 传动轴的动力传递 扭矩
在传动轴的扭转计算中，作用在轴上的扭力矩M0可以通过轴所传递的功率P（kW）及转速n（r/min）进行换算得到。因为功率是每秒钟内所做的功，有
{P}kW?{M0}N?m{?}rad/s?10?3?{M0}N?m?2π?{n}r/min60?10?3
所以，当轴平稳转动时，作用在轴上的扭力矩与传递的功率和转速间的关系为
{M0}N?m?{M0}N?m?10?602π{n}r/min3?9549{P}kW{n}r/min （3-1）
杆件上的扭力矩确定后，可用截面法计算任意横截面上的内力。图3.4a所示的为一受扭
第三章 扭 转 35
圆轴，欲求横截面m-m上的内力，用截面法将圆轴沿截面m-m截开，考虑左段在轴线x方向的力矩平衡（图3.4b），得
?Mx?0?T?M0
式中内力偶矩T是横截面上唯一的内力分量，称为扭矩。如果取右段为研究对象，也可以得到同样结果（图3.4c）。图中的双箭头的指向是扭矩的矢量方向。
关于扭矩T的符号，以扭矩矢量（按右螺旋定）的指向与截面的外法线方向一致者规定为正，反之为负（图3.5）。按此规定无论按右段或左段所求同一截面上的扭矩，其符号是相同的。
m M0M0T(c)M0
M0m(a)(b)图3.4 PB 31PC2PAPDB1C2(a)A3DMBT1B(b)T3MD(d)MBMCT2DB
PA?400kW(c)C2183kN.m+ 图3.5 1637kN.m-3274kN.m(e)
例3.1图
例3.1 图示为一机器的传动轴，其转速n = 700r/min，主动轮A的输入功率为
，从动轮B、C和D的输出功率分别为PB?PC?120kW，PD?120kW。试计算轴
内（数值）最大的扭矩。
解：（1）由式（3-1）计算扭力偶矩
MA?9549?400700?5457N?m，MB?MC?1637N?m，MD?9549?160700?2183N?m
（2）计算各段轴内的扭矩。分别将轴在截面1-1、2-2和3-3处截开，如图b、c和d所示，设待求扭矩为正，用平衡方程?Mx?0求出
T1??MB??1637N?m，T2??MB?MC??3274N?m，T3?MD?2183N?m
负号表示该截面扭矩的实际方向与所设方向相反。
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（3）扭矩值随截面位置而变化的曲线称为扭矩图。仿拉压杆轴力图的画法画出扭矩图（图e）。可见，最大扭矩Tmax?3274N?m发生在AC段各横截面上。
讨论：若将主动轮A与从动轮B或D对调，轴的扭矩会有何变化？是否有利？
3.2 薄壁圆轴的扭转 切应力互等定理
一、横截面上的切应力
设一薄壁圆轴的壁厚t远小于其平均半径r0(t?r0/10)，其两端面作用有扭力偶矩M0（图3.6a）。由截面法可知，圆轴任一横截面n-n上唯一的内力是扭矩T?M0，由截面上的应力与微面积dA之乘积的合成等于截面上的扭矩可知，横截面上的应力只能是切应力。
nl(a)图3.6
nM0tc?abr0??atb?cdc?d?M0d?(b)
为得到沿横截面圆周上各点处切应力的变化规律，可预先在圆轴表面画上等间距的圆周线和纵向线，从而形成一系列的正方格子。在圆轴两端施加扭力矩M0以后，可以发现圆周线保持不变，而纵向线发生倾斜，在小变形时仍保持为直线。于是可设想，薄壁圆轴扭转变形后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，相邻两横截面只是绕圆轴轴线发生相对转动的角位移?，即相对扭转角。而圆轴表面上每个格子的直角均改变了相同的角度?，即矩形格子abdc变成了平行四边形abd?c?（图3.6b），这种直角的改变量?称为切应变。这个切应变??和横截面上的沿圆周切线方向的切应力??是相对应的，也就是说，只有图b中右侧面作用有向下的切应力，才能产生图中虚线所示的错动变形。由于相邻两圆周线间每个格子的直角改变量相等，并根据材料均匀连续的假设，可以推知，沿圆周各点处切应力的方向与圆周相切，且数值相等。至于切应力沿壁厚的分布，由于壁厚t远小于其平均半径r0，故可近似地认为沿壁厚方向各点处切应力之值无变化。
T?根据上述分析，可得薄壁圆轴扭转时，横截面上任一点处的切应力?值均相等，其方向与圆周相切。于是，由横截面上内力与应力间的静力关系，得
O
?O?
(a) (b)
图3.7
?A?dA?r?T （a）
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由于?为常量，且对于薄壁圆轴，r可用其平均半径r0代替，而积分?dA?A?2πr0t为薄
A壁圆轴横截面面积，将其代入式（a），并引进A0?πr02，从而得
??T2πr0t2?T2A0t （3-2）
由图3.6a所示的几何关系，可得薄壁圆轴表面上的切应变?与相距为l的两端面间的相对扭转角?之间的关系：
???rl （3-3）
式中，r为薄壁圆轴的外半径。
通过薄壁圆轴的扭转实验可以发现，当扭力偶矩在某一范围内时，相对扭转角?与扭力矩M0（在数值上等于扭矩T）之间成正比，如图3.7a所示。利用式（3-2）和（3-3），即得?与?间的线性关系（图3.7b）为
??G? （3-4）
上式称为材料的剪切胡克定律，式中的比例常数G称为材料的切变模量（剪切弹性模量），其量纲与弹性模量E的量纲相同，单位为Pa。钢材切变模量的值约为G?80GPa。
应当注意，剪切胡克定律只有在切应力不超过材料的某一极限值时才是适用的。该极限值称为材料的剪切比例极限?p。即它只在线弹性范围内适用。 二、切应力互等定理
若将图3.6b看成是微立方体，建立坐标系如图3.8所
dyydzdx??示，其边长分别为dx、dy和dz（即厚度t），微体左、右侧面（轴的横截面）上的切应力?已由式（3-4）求出，设微体顶面和底面上的切应力为??，方向如图，则由平衡方程
?xz图3.8
?M得
z?0???dxdz?dy??dydz?dx?0
???? （3-5）
上式称为切应力互等定理，即在微体相互垂直的平面上，垂直于平面交线的切应力数值相等，方向则均指向或离开该交线。切应力互等定理虽然是在纯剪切状态下导出的，但具有普遍意义，在平面上同时有正应力的情况下仍然成立。
3.3 圆轴扭转时的应力 强度条件
一、横截面上的应力
与薄壁圆轴相仿，也要从几何、物理和静力学三个方面，建立受扭圆轴横截面上的应力