发布时间 : 星期二 文章2019年全国各地中考数学真题分类汇编——专题14 锐角三角函数1(练习版+答案解析版)更新完毕开始阅读
【解析】（1）由题意得：∠BAC=90°–60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°， ∴∠C=180°–∠BAC–∠ABC=45°；故答案为：30，45； （2）∵BP⊥AC，∴∠BPA=∠BPC=90°，
∵∠C=45°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴BP=PC， ∵∠BAC=30°，∴PA=3BP，
∵PA+PC=AC，∴BP+3BP=10，解得BP=53–5． 答：观测站B到AC的距离BP为（53–5）海里．
【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用–方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．7．（2019?河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，3≈1.73）
【答案】炎帝塑像DE的高度约为51m．
【解析】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m， ∴tan∠CAE=
CECE55=，∴AC=≈82.1（m）， ?ACtan340.67CD=3， BC∵AB=21m，∴BC=AC–AB=61.1（m）， 在Rt△BCD中，tan60°=
∴CD=3BC≈1.73×61.1≈105.7（m）， ∴DE=CD–EC=105.7–55≈51（m）. 答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利
用三角函数的知识求解，难度适中．
8．（2019?甘肃）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，AB=CD，楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：各踏步互相平行，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）
【答案】该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定． 【解析】如图，连接BD，作DM⊥AB于点M，
∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH， ∴AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形， ∴∠C=∠ABD，AC=BD， ∵∠C=65°，AC=900， ∴∠ABD=65°，BD=900，
∴BM=BD?cos65°=900×0.423≈381，DM=BD?sin65°=900×0.906≈815， ∵381÷3=127，120＜127＜150， ∴该中学楼梯踏步的高度符合规定， ∵815÷3≈272，260＜272＜300， ∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，
由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．
【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
9．（2019?江西）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B–A–O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．（结果精确到0.1）． （1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE． ①填空：∠BAO=__________．
②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．
（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）
【答案】（1）①160；②投影探头的端点D到桌面OE的距离为27cm；（2）当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，∠ABC的大小为33.2°．
【解析】（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG=∠ABC=70°，
∵BC∥OE，∴AG∥OE， ∴∠GAO=∠AOE=90°，
∴∠BAO=90°+70°=160°，故答案为：160； ②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，
则AF=AB?sin∠ABF=30sin70°≈28.2（cm）， ∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为： AF+AO–CD=28.2+6.8–8=27（cm）；
（2）过点DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M， 过A作AF⊥BM于点F，如图3，
则∠MBA=70°，AF=28.2cm，DH=6cm，BC=35cm，CD=8cm， ∴CM=AF+AO–DH–CD=28.2+6.8–6–8=21（cm）， ∴sin∠MBC=
CM21==0.6， BC35∴∠MBC=36.8°，
∴∠ABC=∠ABM–∠MBC=33.2°．
【名师点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．
10．（2019?安徽）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》
中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．
（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）