发布时间 : 星期一 文章中考数学压轴题:探究角度问题更新完毕开始阅读
探究角度问题
1.如图,抛物线经过原点O(0,0),与x轴交于点A(3,0),与直线l交于点B(2,-2).
(1)求抛物线的解析式;
第1题图
(2)点C是x轴正半轴上一动点,过点C作y轴的平行线交直线l于点E,交抛物线于点F,当EF=OE时,请求出点C的坐标;
(3)点D为抛物线的顶点,连接OD,在抛物线上是否存在点P,使得∠BOD=∠AOP?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
解:(1)由题意可设抛物线的解析式为y=ax2+bx,将A(3,0),B(2,-2)代入y=ax2
???9a+3b=0?a=1
?+bx中,得,解得?, ?4a+2b=-2?b=-3??
∴抛物线的解析式为y=x2-3x; (2)方法一:设直线l的解析式为y=kx, 将B(2,-2)代入y=kx中,得-2=2k, 解得k=-1,
∴直线l的解析式为y=-x,
设点C的坐标为(n,0),则点E的坐标为(n,-n),点F的坐标为(n,n2-3n). ①当点C在点A的左侧时,如解图①所示,EF=-n-(n2-3n)=-n2+2n,OE=n2+(-n)2=2n,
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∵EF=OE, ∴-n2+2n=2n,
解得n1=0(C,E,F三点均与原点重合,舍去),n2=2-2, ∴点C的坐标为(2-2,0);
②当点C在点A的右侧时,如解图②所示,EF=n2-3n-(-n)=n2-2n,OE=n2+(-n)2=2n, ∵EF=OE, ∴n2-2n=2n,
解得n1=0(C,E,F均与原点重合,舍去),n2=2+2, ∴点C的坐标为(2+2,0);
方法二:设直线l的解析式为y=kx,将点B(2,-2)代入y=kx中,得-2=2k,解得k=-1,
∴直线l的解析式为y=-x, ∴∠AOB=45°, ∵CF∥y轴,
∴△OCE为等腰直角三角形, ∴OE=2CE, ∵EF=OE, ∴EF=2CE.
设点C的坐标为(m,0),则点E的坐标为(m, -m),点F的坐标为(m,m2-3m),
当点C在点A左侧时,如解图①所示,EF=-m-(m2-3m)=-m2+2m,CE=m, 由EF=2CE得-m2+2m=2m,
解得m1=0(C,E,F点均与原点重合,舍去),m2=2-2, ∴C点的坐标为(2-2,0);
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第1题解图①
当点C在A点右侧时,如解图②所示,EF=m2-3m-(-m)=m2-2m,CE=m,由EF=2CE得m2-2m=2m,
解得m3=0(C,E,F三点均与原点重合,舍去),m4=2+2, ∴C点的坐标为(2+2,0).
综上所述,当EF=OE时,点C的坐标为(2-2,0)或(2+2,0);
第1题解图②
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(3)存在点P使得∠BOD=∠AOP,点P的坐标为(,-)或(,).
5255252.如图,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.
第2题图
(1)求抛物线解析式;
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(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC面积为1;
(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.
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解:(1)抛物线的解析式为y=-x2+x+1;
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1
(2)由B(3,0),C(0,1)可得直线BC解析式为y=-x+1,如解图①,过点P作直线
3PD⊥x轴交直线BC于点D.连接PC,PB,
第2题解图①
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设P(x,-x2+x+1),易得D(x,-x+1),
3331
∴PD=-x2+x,
3
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∴S△PBC=S△PDC+S△PDB=PD(xB-xC)=-x2+x,
22213
又∵S△PBC=1,∴-x2+x=1,∴x2-3x+2=0,
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解得x2=1,x2=2,∴P1(1,),P2(2,1);
3(3)存在,
理由如下:如解图,∵A(-1,0),C(0,1), ∴OC=OA=1,∴∠BAC=45°, ∵∠BAC=∠BQC,∴∠BQC=45°,
∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点. 设△ABC外接圆心为M,
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