发布时间 : 星期日 文章正、余弦函数图像和性质(奇偶性,单调性)更新完毕开始阅读
正弦函数、余弦函数的性质（奇偶性，单调性）
三维目标
1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.
2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物. 重点难点
教学重点:正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法.
教学难点:正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用. 教学过程： 复习导入：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R〔或(-∞,+∞)〕.
正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x∈R),
?+2kπ,k∈Z时,取得最大值1. 2?(2)当且仅当x=-+2kπ,k∈Z时,取得最小值-1.
2(1)当且仅当x=
对于余弦函数y=cosx(x∈R),
(1)当且仅当x=2kπ,k∈Z时,取得最大值1. (2)当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z时,取得最小值-1.
正弦函数，余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π. 新课探究：
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称.在R上,y=sinx为奇函数,y=cosx为偶函数.教师要恰时恰点地引导,怎样用学过的知识方法给予证明? 由诱导公式:∵sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx, ∴y=sinx为奇函数,y=cosx为偶函数. 例、判断下列函数奇函性：
(1)y??sin3x?1?sinx(x?R)(x?R)(x?R) (2)y (3)y
?sinx?cosx正弦、余弦函数的单调性：
通过学生充分讨论后确定,选图象上的［-
?3?,］(如图4)这段.教师还要强调22为什么选这段,而不选[0,2π]的道理,其他类似.
图3
图4
这个变化情况也可从下表中显示出来:
x sinx -? 2… ↗ 0 0 … ↗ ?2 … ↘ π 0 … ↘ 3? 2-1 1 -1 就是说,函数y=sinx,x∈［-当x∈［-
?3?,］. 22??,］时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx的值由-1增大到1; 22?3?当x∈［,］时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx的值由1减小到-1.
22类似地,同样可得y=cosx,x∈[-π,π]的单调变化情况.教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究,如图5,为什么选[-π,π],而不是选[0,2π].
图5
引导学生列出下表: x cosx -π -1 … ↗ -? 20 … ↗ 0 1 … ↘ ? 20 … ↘ π -1 结合正弦函数、余弦函数的周期性可知:
??+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是增函数,其值223??从-1增大到1;在每一个闭区间［+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是减函数,其
22 正弦函数在每一个闭区间［-值从1减小到-1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.
例2 函数的单调性,比较下列各组数的大小:
23?17???)与sin(-);(2)cos(?)与cos(?).
541810????解:(1)因为?
221018(1)sin(-
??)>sin(?). 181023?3?17?23?17??(2)cos(?)=cos=cos,cos(?)=cos=cos.
554544?3?因为0<<<π,且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数,
453?23?17??所以cos>cos,即cos(?) 55441?例3 函数y=sin(x+),x∈[-2π,2π]的单调递增区间. 231?解:令Z=x+.函数y=sinZ的单调递增区间是 23??［?+2kπ,+2kπ］. 221???5??由-+2kπ≤x+≤+2kπ,得?+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z. 2232335??15由x∈［-2π,2π］可知,-2π≤?+4kπ且+4kπ≤2π,于是?≤k≤, 3312125??5??由于k∈Z,所以k=0,即?≤x≤,而［?,］［-2π,2π］, 3333x?5??因此,函数y=sin(+),x∈[-2π,2π]的单调递增区间是［?, ］. 2333以sin(?小结： 1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识,学习了哪些数学思想方法.这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质.重点是掌握正弦函数的性质,通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究,更加深了我们对这两个函数的理解.同时也巩固了上节课所学的正弦函数,余弦函数的图象的画法. 2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点. 作业：同步练习 课后反思： 1.本节是三角函数的重点内容,设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识,这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容易,而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又离不开共性,