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第14讲 一元二次方程根的判别式及韦达定理
◎前景回顾
上节课我们一起学习了哪些知识点呢？同学们还记得吗？ （一元二次方程的定义、四种解法、整体代入）
1、代数式x2?x?2x2?1的值为0，则x的值为________．
2、已知（x+y）（x+y+2）-8=0，则x+y的值为________
3、若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2
+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
4、已知x2+y2+z2
-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是_________________
5、如果2x2+1与4x2
-2x-5互为相反数,则x的值为________.
6、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2
-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为___________
7、已知关于x的方程：（m-2）xm2-m+（m-1）x+6=0是一元二次方程，试求m的值．8、关于x的方程a（x?m）2?b?0的解是x1=-2，x2=1（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x?m?2）2?b?0的解是_____________ 9、解方程
（1）（1-x）2+2x（x-1）=0． （2）x2
-4x+1=0
（3）x2-6x+5=0 （4）x2
-2（x+4）=0
◎例题导航
知识点1 根的判别式
例1．方程x2
＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____．
例2．当k＜1时，方程2（k+1）x2
＋4kx+2k-1=0有____实数根．
例3．若关于x的一元二次方程mx2
+3x-4=0有实数根，则m的值为____．
例4．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2）x2
+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为____．例5．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2
有实数根，则k的取值范围是____．
举一反三
1、若一元二次方程（1-3k）x2
＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____．
2、方程4mx2
-mx＋1=0有两个相等的实数根，则 m为____．
3、若关于x的二次方程kx2+1=x-x2
有实数根，则k的取值范围是____．
5．一元二次方程（m-1）x2
+2mx＋m＋3=0有两个不相等的实数根，求m的最大整数值
知识点2 根与系数的关系
例1、不解方程说出下列方程的两根和与两根差：
（1）x2?3x?10?0 （2）3x2?5x?1?0 （3）2x2?43x?22?0
例2、设x1,x2是一元二次方程2x2?5x?1?0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）x2
2
1+x2 （2）x1+x2
（3）
1?1x （4）x2?x1x 12x1x2
（5）|x221-x2| （6）（x1?1）(x2?1) (7)(x1?x2)
例3、已知关于x的方程x2?(5k?1)x?k2?2?0，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。
例4、已知方程x2?5x?2?0，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。
例5、已知x21 ，x2是关于x的方程x2?2(m?2)x?2m?1?0的两个实根，且满足
x2?x212?0，求m的值；
举一反三
1．若关于x的一元二次方程x2
-4x+k-3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．
2.已知关于x的方程x2
-（k+1）x+k+2=0的两个实数根分别为x2
2
1和x2，且x1+x2=6，求k的值？
3．已知a、b为方程x2-2x-1=0的两根，不解方程，求a2+2b2
-2a-4b+3的值．
4．关于x的一元二次方程4x2
+4（m-1）x+m2
=0
（1）当m在什么范围取值时，方程有两个实数根？
（2）设方程有两个实数根x22
1，x2，问m为何值时，x1+x2＝17？
（3）若方程有两个实数根x1，x2，问x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请说明理由．
5．已知关于x的方程x2
+2mx+m+2=0．
（1）方程两根都是正数时，求m的取值范围；
（2）方程一个根大于1，另一个根小于1，求m的取值范围．
知识点3 配方法的应用 例1、已知m2+2mn+2n2-6n+9=0，求mn2的值
例2、用配方法求x2-6x+2的最小值．
例3、试说明代数式-4x2+8x-5的值是正数还是负数，并求出该代数式的最大值或最小值
例4、试说明：不论x、y取何值，代数式x2+y2-4x+6y+15的值总是正数．并求出当x、y取何值时，这个代数式的值最小是多少？
例5、无论x取任何实数，代数式x2-6x?m都有意义，则m的取值范围为________。
举一反三 1、已知x?1x?3，求x2?1x2的值。
2、已知x为实数，设M=x2+1，N=2x-3，则M与N的大小关系为M____N．
【课后练习】
1．已知方程x2
+(2k+1)x+k2
－2=0的两实根的平方和等于11，k的取值是（ ）
A．－3或1 B．－3 C．1 D．3
2．若?,?是方程x2?2x?2005?0的两个实数根，则?2?3???的值为（ ）
A．2005 B．2003 C．－2005 D．4010
3．若关于x的一元二次方程2x2
－2x＋3m－1＝0的两个实数根x1，x2，且x1·x2＞x1＋x2－4，则实数m的取值范围是 （ ）
A．m＞?53 B． m≤15512 C．m＜?3 D．?3＜m≤2 4． 若关于x的一元二次方程x2?kx?4k2?3?0的两个实数根分别是x1,x2,且满足x1?x2?x1x2.则k的值为（ ）
A ．－1或34 B．－1 C．34 D．不存在
5.关于x的方程x2?px?q?0的两根同为负数，则（ ）
A．p>0且q>0 B．p>0且q<0 C．p<0且q>0 D．p<0且q<0 6、下列方程中，无实数根的是（ ）
A、x?1?1?x?0 B、 2y?6y?7 C、x?1?2?0 D、x2?3x?2?0
7、若关于x的一元二次方程(m?2)2x2?(2m?1)x?1?0有两个不相等的实根，则m的取值范围是（ ） A、m?34 B、m≤3334 C、m?4且m≠2 D、m≥4且m≠2 8、在方程ax2?bx?c?0（a≠0）中，若a与c异号，则方程（ ）
A、有两个不等实根 B、有两个相等实根 C、没有实根 D、无法确定
9、下列方程①x2?1?0；②x2?x?0；③x2?x?1?0；④x2?x?0中，无实根的方程
是 。
10、已知关于x的方程x2?mx?2?0有两个相等的实数根，那么m的值是 。 11．已知一元二次方程x2
－2x－1=0的两个根是x1，x2，则x1+x2= ，x1x2= ，x2
2
1+x2= ；
12.若是m，n方程x2
+2002x－1=0的两个实数根，则m2
n+mn2
－mn的值为 13.反比例函数y?kx的图象经过点P（a、b），其中a、b是一元二次方程x2?kx?4?0 的两根，那么点P的坐标是 。
14.已知xx221、x2是方程?3x?1?0的两根，则4x1?12x2?11的值为 。 15、已知关于x的方程x2?mx?2m?n?0的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m、n的值。
16、已知关于x的方程x2?2(m?1)x?m2?3?0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x21、x2是方程的两根，且(x1?x2)?(x1?x2)?12?0，求m的值。