发布时间 : 星期四 文章2017年最新高中数学必修5全册导学案及章节检测含答案更新完毕开始阅读
1.2 应用举例(二)
课时目标
1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题．
2．利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题．
1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)
1
2．已知△ABC的两边a、b及其夹角C，则△ABC的面积为absin C.
2
一、选择题
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为( ) A．α>β B．α＝β
C．α<β D．α＋β＝90° 答案 B
2．设甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )
40
A．203 m，3 m
3B．103 m,203 m
C．10(3－2) m,203 m 1520D.3 m，3 m 23答案 A
解析 h甲＝20tan 60°＝203(m)．
40
h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝3(m)．
3
3．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为( )
A．30＋303 m B．30＋153m C．15＋303m D．15＋33m 答案 A
解析 在△PAB中，由正弦定理可得
60PB＝，
－sin 30°
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160×
230
PB＝＝，
sin 15°sin 15°
h＝PBsin 45°＝(30＋303)m.
4．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角
为45°，则此时两船间的距离为( )
A．2h米 B.2h米 C.3h米 D．22h米
答案 A
解析 如图所示， BC＝3h，AC＝h，
22
∴AB＝3h＋h＝2h.
5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进2003 m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是( )
A．200 m B．300 m C．400 m D．1003 m 答案 B
解析 如图所示，600·sin 2θ＝2003·sin 4θ，
∴cos 2θ＝3
，∴θ＝15°， 2
∴h＝2003·sin 4θ＝300 (m)．
6．平行四边形中，AC＝65，BD＝17，周长为18，则平行四边形面积是( ) A．16 B．17.5 C．18 D．18.53 答案 A
解析 设两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，
22
则a＋b＝9，a＋b－2abcos α＝17， a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65.
33
解得：a＝5，b＝4，cos α＝或a＝4，b＝5，cos α＝，
55
∴S?ABCD＝ab sin α＝16. 二、填空题
7．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．
答案 北偏东30° 3a 解析
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如图所示，设到C点甲船追上乙船， 乙到C地用的时间为t，乙船速度为v， 则BC＝tv，AC＝3tv，B＝120°， 由正弦定理知＝，
sin∠CABsin B
BCAC13
＝，
sin∠CABsin 120°
1
∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，
2
∴BC＝AB＝a，
222
∴AC＝AB＋BC－2AB·BCcos 120°
?1?2222
＝a＋a－2a·?－?＝3a，∴AC＝3a.
?2?∴
8．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为103，则其周长为________． 答案 20
解析 设AB＝8k，AC＝5k，k>0，则 1
S＝AB·AC·sin A＝103k2＝103. 2
∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理： BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A
122
＝8＋5－2×8×5×＝49.
2
∴BC＝7，∴周长为：AB＋BC＋CA＝20.
9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．
27π答案 5
解析 不妨设三角形三边为a，b，c且a＝6，b＝c＝12， 由余弦定理得：
b2＋c2－a2122＋122－627
cos A＝＝＝，
2bc2×12×128∴sin A＝
15?7?2
1－??＝.
8?8?
11315
由(a＋b＋c)·r＝bcsin A得r＝. 225
27π2
∴S内切圆＝πr＝. 5
10．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．
2答案 3
解析 设舰艇和渔船在B处相遇，则在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120°，设舰艇
22
到达渔船的最短时间为t，则AB＝21t，BC＝9t，AC＝10，则(21t)＝(9t)＋100－2×10×9tcos 120°，
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25
解得t＝或t＝－(舍)．
312
三、解答题
11．如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.
解 在△ABC中，∠BCA＝90°＋β， ∠ABC＝90°－α，
∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.
根据正弦定理得：＝，
sin∠ABCsin∠BAC
ACBC，
－αα－βBCcos α
∴AC＝
α－βhcos α＝.
α－β
在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β hcos αsin β＝.
α－β
hcos αsin β
即山高CD为.
α－β
12．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圆内接四边形ABCD的面积．
解
即
AC＝
BC连接BD，则四边形面积
11
S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD·sin A＋BC·CD·sin C.
22
∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C.
1
∴S＝(AB·AD＋BC·CD)·sin A＝16sin A.
2
222
由余弦定理：在△ABD中，BD＝2＋4－2×2×4cos A＝20－16cos A，
222
在△CDB中，BD＝4＋6－2×4×6cos C＝52－48cos C， ∴20－16cos A＝52－48cos C.
1
又cos C＝－cos A，∴cos A＝－.∴A＝120°.
2∴四边形ABCD的面积S＝16sin A＝83.
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