发布时间 : 星期四 文章2017年最新高中数学必修5全册导学案及章节检测含答案更新完毕开始阅读
(1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理
余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
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1．1.2 余弦定理(二)
课时目标
1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；
2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题． 1．正弦定理及其变形
(1)＝＝＝2R. sin Asin Bsin C(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
2R2R2R(4)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. 2．余弦定理及其推论
222
(1)a＝b＋c－2bccos_A.
b2＋c2－a2
(2)cos A＝. 2bc222222222
(3)在△ABC中，c＝a＋b?C为直角；c>a＋b?C为钝角；c A＋BπC(1)A＋B＋C＝π，＝－. 222 (2)sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C. A＋BCA＋BC(3)sin ＝cos ，cos ＝sin . 2222 一、选择题 1．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为 ( ) A．60° B．90° C．120° D．150° 答案 C 解析 ∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab， 222 ∴a＋b－c＝－ab， a2＋b2－c21即＝－， 2ab2 1 ∴cos C＝－，∴∠C＝120°. 2 2．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是 ( ) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 答案 C 解析 ∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0， 即sin(A－B)＝0，∴A＝B. 第13页 共183页 abcabc 3.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 答案 B 解析 ∵a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7， 不妨设a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角， 2223＋5－71 则cos C＝＝－. 2×3×52 ∴C＝120°. ∴最小外角为60°. 2 4．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 答案 D 222 解析 ∵2b＝a＋c，∴4b＝(a＋c)，即(a－c)＝0. ∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c. 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°， c＝2a，则( ) A．a>b B．a C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定 答案 A 解析 在△ABC中，由余弦定理得， c2＝a2＋b2－2abcos 120° 22 ＝a＋b＋ab. 222 ∵c＝2a，∴2a＝a＋b＋ab. 2222 ∴a－b＝ab>0，∴a>b，∴a>b. 6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定 答案 A 222 解析 设直角三角形三边长为a，b，c，且a＋b＝c， 222 则(a＋x)＋(b＋x)－(c＋x) 222222 ＝a＋b＋2x＋2(a＋b)x－c－2cx－x＝2(a＋b－c)x＋x>0， ∴c＋x所对的最大角变为锐角． 二、填空题 7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________. 答案 19 解析 由题意：a＋b＝5，ab＝2. 222 由余弦定理得：c＝a＋b－2abcos C 2222 ＝a＋b－ab＝(a＋b)－3ab＝5－3×2＝19， ∴c＝19. 8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________． 答案 2 1 解析 ∵2a－1>0，∴a>，最大边为2a＋1. 2 222 ∵三角形为钝角三角形，∴a＋(2a－1)<(2a＋1)， 化简得：0 9．已知△ABC的面积为23，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________． 第14页 共183页 答案 12 1 解析 S△ABC＝AB·AC·sin A 2 1 ＝AB·AC·sin 60°＝23， 2 222 ∴AB·AC＝8，BC＝AB＋AC－2AB·AC·cos A 222 ＝AB＋AC－AB·AC＝(AB＋AC)－3AB·AC， 22 ∴(AB＋AC)＝BC＋3AB·AC＝49， ∴AB＋AC＝7，∴△ABC的周长为12. 10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则△ABC外接圆的面积是________． 13π答案 313 解析 S△ABC＝bcsin A＝c＝3， 24 ∴c＝4， 222 由余弦定理：a＝b＋c－2bccos A 22 ＝1＋4－2×1×4cos 60°＝13， ∴a＝13. a13239 ∴2R＝＝＝， sin A33 2 3913π2 .∴S外接圆＝πR＝. 33 三、解答题 a2－b2 11．在△ABC中，求证：2＝∴R＝A－B. csin Csin Acos B－cos Asin Bsin Asin B证明 右边＝＝·cos B－·cos A sin Csin Csin Caa2＋c2－b2bb2＋c2－a2a2＋c2－b2b2＋c2－a2a2－b2＝·－·＝－＝2＝左边． 22 c2acc2bc2c2cca2－b2A－B所以2＝. csin C12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cosB =且AB·BC＝－21. (1)求△ABC的面积； (2)若a＝7，求角C. 3， 5AB·BC＝－21，∴BA·BC=21. ∴BA·BC = |BA|·|BC|·cosB = accosB = 21. 34∴ac=35，∵cosB = ，∴sinB = . 55114∴S△ABC = acsinB = ×35× = 14. 225解 （1）∵ (2)ac＝35，a＝7，∴c＝5. 222 由余弦定理得，b＝a＋c－2accos B＝32， ∴b＝42.由正弦定理：＝. sin Csin B第15页 共183页 cb