发布时间 : 星期三 文章2020届高考数学二轮教师用书：层级二 专题三 第2讲 数列求和及综合应用更新完毕开始阅读
11
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，
331
∴an＝an－1，
4
111
又∵S1＝－a1，∴a1＝，
63811?n－1?1?2n＋1
∴an＝?＝?2?.
8?4?1
(2)证明：由cn＋1－cn＝logan＝2n＋1，得当n≥2时，
2
cn＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)＝0＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2－1＝(n＋1)(n－1)．
∴
111111111＋＋＋…＋＝2＋2＋2＋…＋2＝c2c3c4cn22－13－14－1n－1
?1－1?＋?1－1?＋?1－1?… ×???3??24??35?
?1－1?? ?n－1n＋1??
11??11
1＋?－?n＋＝??2??n＋1?? 2??
13113＝－?n＋n＋1?＜. 42??4
111111
又∵＋＋＋…＋≥＝，∴原式得证．
c2c3c4cnc23
限时50分钟 满分76分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2020·重庆七校联考)若数列{an}满足
2
－＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知正an＋1an
1
?1?
项数列?b?为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝( )
?n?
A．4 B．16 C．32 D．64
1211?1?
解析：C [由－＝0可得an＋1＝an，故{an}是公比为的等比数列，故?b?是公比为
22?n?an＋1an
1
的等比数列，则{bn}是公比为2的等比数列，b6＋b7＋b8＝(b1＋b2＋b3)×25＝32，故选C.] 2
2．(2020·江西省五校协作体考试)设Sn是数列{an}的前n项和，若an＋Sn＝2n,2bn＝2an＋2
111－an＋1，则＋＋…＋＝( )
b12b2100b100
979899100A. B. C. D. 9899100101
解析：D [因为an＋Sn＝2n ①，所以an＋1＋Sn＋1＝2n1 ②，②－①得2an＋1－an＝2n，1111＋＋
所以2an＋2－an＋1＝2n1.又2bn＝2an＋2－an＋1＝2n1，所以bn＝n＋1，＝＝－，
nbnn?n＋1?nn＋1111111111100则＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选D.] b12b2100b100223100101101101
3．(2020·广东省六校联考)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)·3n.设bn＝4n
，Sn为数列{bn}的前n项和，若Sn＜λ(λ为常数，n∈N*)，则λ的最小值是( ) an
393131A. B. C. D. 241218解析：C [a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)·3n，①
当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(2n－3)·3n1，②
①－②得，nan＝4n·3n1(n≥2)，即an＝4·3n1(n≥2)．当n＝1时，a1＝3≠4，所以an＝
??3，n＝1，? －
?4×3n1，n≥2，?
－
－
－＋
?b＝?n
?3
n
4
，n＝1，3
n－1，n≥2.
423n1123n11123
所以Sn＝＋＋2＋…＋n－1＝＋0＋1＋2＋…＋n－1，③ Sn＝＋＋2＋3＋…＋
33333333933333n－1n
，④ －＋
3n13n11－n3n221111n2
③－④得，Sn＝＋0＋＋2＋…＋n－1－n＝＋－，
393333913n3
1－3316n＋93131
所以Sn＝－＜，所以易知λ的最小值是，故选C.] n124×31212
4．(2019·青岛三模)已知f(n)表示正整数n的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则f(12)＝3；21的因数有1,3,7,21，则f(21)＝21，那么∑100,i＝51f(i)的值为( )
A．2 488 B．2 495 C．2 498 D．2 500 解析：D [由f(n)的定义知f(n)＝f(2n)，且若n为奇数则f(n)＝n， 则∑100,i＝1f(i)＝f(1)＋f(2)＋…＋f(100) ＝1＋3＋5＋…＋99＋f(2)＋f(4)＋…＋f(100) ＝
50×?1＋99?
＋f(1)＋f(2)＋…＋f(50) 2
＝2 500＋∑50,i＝1f(i)，
∴∑100,i＝51f(i)＝∑100,i＝1f(i)－∑50,i＝1f(i)＝2 500.]
1??
5．(2019·深圳二模)已知数列{an}满足2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，数列?logaloga??2n2n＋1?的前n项和为Sn，则S1·S2·S3·…·S10＝( )
1112
A. B. C. D. 1051111
解析：C [∵2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，∴2a1＋22a2＋…＋2n1an－1＝n－1(n≥2)，1111∴2nan＝1(n≥2)，当n＝1时也满足，故an＝n，故＝＝－n－?n＋1?＝2log2anlog2an＋1log22log22n?n＋1?11111111n123－，Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，∴S1·S2·S3·…·S10＝××nn＋1223nn＋1234n＋1n＋19101
×…××＝，选C.]
101111
6．(2019·潍坊三模)已知等差数列{an}中公差d≠0，a1＝1，a1，a2，a5成等比数列，且a1，anam
a2，ak1，ak2，…，akn成等比数列，若对任意的n∈N*，恒有≤(m∈N*)，则m＝
2kn－12km－1( )
A．0 B．1 C．2 D．1或2
解析：D [由已知可得，a2a5，即(1＋d)2＝1·(1＋4d)，又d≠0，解得d＝2，所以an2＝a1·2n－1an＋
＝2n－1.因为a1，a2，ak1，ak2，…，akn成等比数列，所以2kn－1＝3n1.令bn＝＝n＋1，2kn－13
??bl≥bl＋1，
设数列{bn}中的最大项为bl，故满足?解得1≤l≤2，即数列{bn}中的最大项为b1，
?bl≥bl－1，?
－
b2，所以m＝1或2.]
二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)
?an＋2，n是奇数，?
7．(2019·昆明三模)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝?则数列{an}
?2a，n是偶数，?n
的前20项和为________．
解析：由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，1×?1－210?10×9
公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2＝1 123.
21－2
答案：1 123
8．(2019·山师附中质检)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：
a1 a2，a3 a4，a5，a6 a7，a8，a9，a10
……
记数阵中的第1列数a1，a2，a4，…，构成的数列为{bn}，Sn为数列{bn}的前n项和，若Sn＝2bn－1，则a56＝________.
解析：当n≥2时，∵Sn＝2bn－1，∴Sn－1＝2bn－1－1，∴bn＝2bn－2bn－1，∴bn＝2bn－1(n≥2且n∈N*)，∵b1＝2b1－1，∴b1＝1，∴数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，∴bn＝2n
－1
.
设a1，a2，a4，a7，a11，…的下标1,2,4,7,11，…构成数列{cn}，则c2－c1＝1，c3－c2＝2，
c4－c3＝3，c5－c4＝4，…，cn－cn－1＝n－1，累加得，cn－c1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)，∴cn＝
n?n－1?n?n－1?
＋1，由cn＝＋1＝56，得n＝11，∴a56＝b11＝210＝1 024. 22答案：1 024
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
19．(2020·郑州三测)已知数列{an}满足a1＝1,2an·an＋1＋an＋1－an＝0，数列{bn}满足bn＝n. 2·an(1)求数列{an}的通项公式；
3
(2)记数列{bn}的前n项和为Sn，问：是否存在n，使得Sn的值是？
8解析：(1)因为2an·an＋1＋an＋1－an＝0， an所以an＋1＝，
2an＋112an＋11－＝－＝2，
ananan＋1an1
?1?1
由等差数列的定义可得?a?是首项为＝1，公差为d＝2的等差数列．
a1?n?
11
故＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝. an2n－1