发布时间 : 星期六 文章2020届高考数学二轮教师用书：层级二 专题三 第2讲 数列求和及综合应用更新完毕开始阅读
者前面剩几项，后面也剩几项；
(2)裂项相消求和法是数列求和的重要方法之一，其基本形式为：若{an}是等差数列且an≠0，则
111n＋＋…＋＝. a1a2a2a3anan＋1a1an＋1
2．用错位相减法求和时应注意的两点
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的数列；
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
3．并项求和法
一个数列的前n项和可两两结合求解，则称为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用并项求和．
2－(n2＋n－1)S－(n2＋n)＝0.设b(1)(2020·长沙模拟)正项数列{an}的前n项和Sn满足：Snnn
＝
n＋1
，数列{bn}的前n项和为____________________．
?n＋2?2a2n
22解析：由S2n－(n＋n－1)Sn－(n＋n)＝0，
得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0，
由于{an}是正项数列，所以Sn＋1＞0. 所以Sn＝n2＋n(n∈N*)． n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n， n＝1时，a1＝S1＝2适合上式． ∴an＝2n(n∈N*)．
n＋1n＋1即bn＝＝ ?n＋2?2a24n2?n＋2?2n
＝
1?1?1－ 16?n2?n＋2?2?
111111?
1－2?＋?2－2?＋?2－2?＋… Tn＝?16??3??24??35?
1111
＋??n－1?2－?n＋1?2?＋?n2－?n＋2?2??
?????
＝
111?1?1＋2－－ 16?2?n＋1?2?n＋2?2?
1111
答案：?1＋4－?n＋1?2－?n＋2?2?
16??
??3，n＝1，
(2)已知an＝?n－1若数列{bn}满足anbn＝log3an，则数列{bn}的前n项和为
?3，n＞1，?
－
____________．
1
解析：因为anbn＝log3an，所以b1＝，
3当n＞1时，bn＝3(11
所以T1＝b1＝；
3
1－－－
当n＞1时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋(1×31＋2×32＋…＋(n－1)×31n)，
3所以3Tn＝1＋(1×30＋2×31＋…＋(n－1)×32n)，
221－31n－1－2－n－n021
两式相减，得2Tn＝＋(3＋3＋3＋…＋3)－(n－1)×3＝＋－(n－1)×31
331－3－1
－n
－
－
－
－n)
log33n1＝(n－1)·31n.
－
136n＋3
＝－， 62×3n
136n＋3
所以Tn＝－.经检验，n＝1时也适合．
124×3n136n＋3
综上可得Tn＝－. 124×3n136n＋3答案：－
124×3n
热点三 数列与函数不等式的交汇创新
[例3] (2019·桂林三模)已知函数f(x)的图象过定点(1,1)，且对任意的实数x1，x2∈R，都
有f(x1＋x2)＝1＋f(x1)＋f(x2)．
?1??*(1)证明数列?f?n＋1?(n∈N)为等比数列； ?2??
?
16
(2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，不等式T2n－Tn＞log2(x＋1)(n≥2，n∈N*)恒
35f?n?成立，求实数x的取值范围．
[审题指导] (1)先令x1＝x2＝
12
n＋1
?1??*
，再证明数列?f?n＋1?(n∈N)为等比数列；(2)先求出?2?
?
?
?1?
数列?f?n??的通项公式，再求和，根据T2n－Tn的单调性求出最小项，最后求实数x的取值范围．
?
?
11111?1?1?＋[解析] (1)令x1＝x2＝n＋1，则f?2n＋1＋2n＋1?＝1＋f?2n＋1?＋f?2n＋1?，即f?＝1＋2f ?2n????????2n1?，21??1???＋则f?＋1＝21＋f2n1， ?2n?
????
1?11??1?＝0，所以数列??f?n?＋1?是等比数列，公比为令x1＝x2＝，则f(1)＝1＋2f?＝1，得f?2??2?2??2??1
，首项为1. 2
(2)由题意知函数f(x)的图象过定点(1,1)， 所以f(1)＝1. 令x1＝n，x2＝1， 则f(n＋1)＝1＋f(1)＋f(n)， 即f(n＋1)＝f(n)＋2，
则{f(n)}是等差数列，公差为2，首项为1， 故f(n)＝1＋(n－1)·2＝2n－1. 111因为bn＝，所以bn＝＝.
f?n?f?n?2n－1
111
设g(n)＝T2n－Tn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＝＋＋…＋，
2n＋12n＋34n－11111
则g(n＋1)－g(n)＝＋－＝＞0，
4n＋14n＋32n＋1?4n＋1??4n＋3??2n＋1?1112
所以{g(n)}是递增数列，g(n)min＝g(2)＝＋＝，
5735
??x＋1＞0，612
从而log2(x＋1)＜，即log2(x＋1)＜2，则?解得x∈(－1,3)，
3535?x＋1＜4，?
所以实数x的取值范围为(－1,3)．
1．求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件．
2．数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理．
11
(2019·淮南二模)若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y＝－x的图象上(x∈N*)．
63(1)求数列{an}的通项公式；
11
(2)若c1＝0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn＝logan，求证：对任意正整数n≥2，总有
3311113
≤＋＋＋…＋＜. c2c3c4cn4
11
解：(1)∵Sn＝－an，
63