发布时间 : 星期日 文章2020届高考数学二轮教师用书:层级二 专题三 第2讲 数列求和及综合应用更新完毕开始阅读
第2讲 数列求和及综合应用
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1.已知数列递推关系求通项公式,主要考查利用an与Sn的关系求通项公式,利用累加法、累乘法及构造法求通项公式,主要以选择题、填空题的形式考查,有时作为解答的第(1)问考查,难度中等.
2.数列求和常与数列综合应用一起考查,常以解答题的形式考查,有时与函数不等式综合在一起考查,难度中等偏上.
[真题体验]
1.(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=________. 解析:当n=1时,a1=S1=2a1+1,∴a1=-1. 当n≥2时,Sn=2an+1 ① Sn-1=2an-1+1 ②
①-②得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,∴an=2an-1 即
an
=2,∴数列{an}是首项为-1,公比为2的等比数列, an-1
?-1??1-26?∴S6==-63.
1-2答案:-63
2.(2019·天津卷)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,公比大于0,已知a1=b1=3,b2
=a3,b3=4a2+3.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
1,n为奇数,??(2)设数列{cn}满足cn=?n求a1c1+a2c2+…+a2nc2n(n∈N*).
??b2,n为偶数,
??3q=3+2d,
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,依题意,得?2
?3q=15+4d,???d=3,-
解得?故an=3+3(n-1)=3n,bn=3×3n1=3n.
?q=3,?
所以,{an}的通项公式为an=3n,{bn}的通项公式为bn=3n. (2)a1c1+a2c2+…+a2nc2n
=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+…+a2nbn) n?n-1??=?n×3+×6+(6×31+12×32+18×33+…+6n×3n)
2??=3n2+6×(1×31+2×32+…+n×3n). 记Tn=1×31+2×32+…+n×3n, ① 则3Tn=1×32+2×33+…+n×3n1,② ②-①得,2Tn=-3-3-3-…-3+n×3
2
3
n
n+1
+
3?1-3n??2n-1?3n1+3n+1
=-+n×3=. 21-3
+
+
?2n-1?3n1+322
所以a1c1+a2c2+…+a2nc2n=3n+6Tn=3n+3× 2?2n-1?3n2+6n2+9=(n∈N*).
2
[主干整合]
1.数列通项
??S1 ?n=1?,
(1)数列通项an与前n项和Sn的关系,an=?
?Sn-Sn-1?n≥2?.?
+
(2)应用an与Sn的关系式f(an,Sn)=0时,应特别注意n=1时的情况,防止产生错误. 2.数列求和
(1)分组转化求和:一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分,分别求和,然后再合并.
(2)错位相减法:主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列.
(3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式,然后通过累加抵消中间
?c?
若干项的方法,裂项相消法适用于形如?aa?(其中{an}是各项均不为零的等差数列,c为常
?nn+1?
数)的数列.
热点一 求数列的通项公式
1
1+?,则an等于( ) [例1] (1)(2020·临沂模拟)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln??n?A.2+ln n C.2+nln n
B.2+(n-1)ln n D.1+n+ln n
1
(2)(2020·成都模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=,S=n2an(n∈N).则数列{an}
2n
的通项公式为____________.
n+1
[解析] (1)由已知,an+1-an=ln,a1=2,
nn
所以an-an-1=ln(n≥2),
n-1n-1
an-1-an-2=ln,
n-2…
2
a2-a1=ln,
1
将以上n-1个式子叠加,得 n-1n2
an-a1=ln+ln+…+ln
1n-1n-2=ln?
n-12?n··…·??
?n-1n-21?
=ln n.
所以an=2+ln n(n≥2), 经检验n=1时也适合.故选A. (2)由Sn=n2an,(ⅰ)得
当n≥2时,Sn-1=(n-1)2an-1,(ⅱ)
(ⅰ)-(ⅱ),得an=n2an-(n-1)2an-1(n≥2,n∈N*), ann-1
所以(n+1)an=(n-1)an-1,即=(n≥2),
an-1n+1n-1a2a3a4an11231
因为a1····…·=×××·…·=,
a1a2a3an-12345n+1n?n+1?11
又a1=,符合上式,所以an=.
2n?n+1?1
[答案] (1)A (2)an= n?n+1?
1.数列{an}中,an与Sn的关系
?S1,n=1,?an=?
?S-S,n≥2.?nn-1
2.求数列通项的常用方法
(1)公式法:利用等差(比)数列求通项公式.
(2)在已知数列{an}中,满足an+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+…+f(n)可求,则可用累加法求数列的通项an.
an+1(3)在已知数列{an}中,满足=f(n),且f(1)·f(2)·…·f(n)可求,则可用累积法求数列的通
an
项an.
(4)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列).