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2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习题：第一章+第2讲 命题及其关系、充
分条件与必要条件+Word版含解析
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
夯实基础 【p4】
【学习目标】
1．理解命题的概念，了解“若p，则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
2．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义． 【基础检测】
1．下列语句中是命题的有( ) ①空集是任何集合的真子集． ②3x－2>0.
③垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ ④把门关上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】①是能判断出真假的陈述句，故①是命题； ②不能判断出真假，故②不是命题； ③是疑问句，故③不是命题； ④不能判断出真假，故④不是命题． 故选A. 【答案】A
2．下列命题是真命题的为( )
11
A．若＝，则x＝y
xy
B．若x2＝1，则x＝1 C．若x＝y，则x＝y D．若x 11 【解析】由＝易得x＝y； xy由x2＝1，得x＝±1； 若x＝y<0，则x与y均无意义； 若x＝－2，y＝1，虽然x 3．设a>0，b>0，则“a>b”是“ln a>ln b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【解析】因为f(x)＝ln x为增函数，故有a>b时，ln a>ln b，同时，若ln a>ln b必有a>b，故a>b是ln a>ln b的充要条件，故选D. - 1 - / 6 2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习题：第一章+第2讲 命题及其关系、充 分条件与必要条件+Word版含解析 【答案】D 4．已知条件p：log2(1－x)<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______． 【解析】条件p：log2(1－x)<0，∴0<1－x<1，解得0 若p是q的充分不必要条件，∴a≤0. 则实数a的取值范围是：(－∞，0]． 【答案】－∞，0 【知识要点】 1．命题 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断__真假__的陈述句 概念 特点 (1)能判断真假；(2)陈述句 分类 __真__命题、__假__命题 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系： (] (2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于__逆否命题__，原命题的否命题等价于__逆命题__．在四种形式的命题中真命题的个数只能是__0，2，4__． 3．充要条件 若p?q，则p是q的__充p成立的对象的集合为A， 分__条件，q是p的__必q成立的对象的集合为B 要__条件 p是q的__充分不必要__p?q且q?/ p A是B的__真子集__ 条件 p是q的__必要不充分__p?/ q且q?p B是A的__真子集__ 条件 p是q的__充要__条件 __A＝B__ p?q p是q的__既不充分也不A，B互不__包含__ p?/ q且q?/ p 集合与 必要__条件 充要条件 - 2 - / 6 2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习题：第一章+第2讲 命题及其关系、充 分条件与必要条件+Word版含解析 典 例 剖 析 【p5】 考点1 四种命题及其相互关系 例1(1)命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是( ) A．若a2>b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤b C．若a≤b，则a2>b2 D．若a≤b，则a2≤b2 【解析】根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b. 【答案】B (2)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( ) A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题 B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题 C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题 D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题 【解析】根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2－3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题． 【答案】C (3)有下列四个命题： ①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题为真命题； ③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题为真命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题为真命题． 其中正确的是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【解析】“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，其为真命题，①正确；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，显然是假命题，②错误；对于③，若q≤1，则4－4q≥0，即Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根．又原命题与逆否命题同真假，故③正确；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题为“三个内角相等的三角形为不等边三角形”，显然是假命题，④错误，选C. 【答案】C 【小结】1.写一个命题的其他三种命题时的2个注意点： (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； (2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提． 2．命题真假的2种判断方法： (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断； (2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断． - 3 - / 6 2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习题：第一章+第2讲 命题及其关系、充 分条件与必要条件+Word版含解析 考点2 充分、必要条件的判断与证明 例2(1)已知命题p：实数x，y满足x>1且y>1，命题q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由实数x，y满足x>1且y>1，显然可得x＋y>2，即充分性成立，但x＋y>2，则得不到x>1且y>1，例如x取0，y取3，故必要性不成立，故选B. 【答案】B (2)在△ABC中，“sin A－sin B＝cos B－cos A”是“A＝B”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 π 【解析】当A＝B时，sin A－sin B＝cos B－cos A，所以必要性成立；当A＋B＝时， 2sin A－sin B＝cos B－cos A，所以充分性不成立，选B. 【答案】B (3)对任意实数a，b，c，给出下列命题： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件； ②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件； ③“a>b”是“a2>b2”的充分条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件． 其中真命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】②④是真命题．故选B. 【答案】B 【小结】充要条件的3种判断方法： (1)定义法：根据p?q，q?p进行判断； (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断． 考点3 根据充分、必要条件求参数的取值范围 例3若集合P＝{x|(x－m)2>3(x－m)}，集合S＝{x|x2＋3x－4<0}．若x∈P是x∈S的必要不充分条件，求m的取值范围． 【解析】P＝{x|(x－m)2>3(x－m)} ＝{x|(x－m)(x－m－3)>0}＝{x|x - 4 - / 6