发布时间 : 星期四 文章2013高中数学 1-2 第1课时等差数列的概念及通项公式同步导学案 北师大版必修5更新完毕开始阅读
∴1=
p?m. p得m=0，即ap+q=0.∴应选B.
［说明］ 本题采用了三种方法，第一种方法使用的是方程思想，由已知建立了两个关于首项a1和公差d的等式，通过解方程组，达到解题目的.第二种方法使用的是通项公式的推广形式an=am+(n-m)d.第三种方法使用的是函数的思想，通过点（p,ap）,(q,aq),(p+q,ap+q)共线求得其解，这也是解决本类问题较简便的方法.
变式应用1 已知｛an｝为等差数列，a15=8,a60=20,求a75. ［解析］ 解法一：∵a15=a1+14d,a60=a1+59d, a1+14d=8 ∴ ，
a1+59d=20
a1=解得
64 15d=
4 15∴a75=a1+74d=
644+74×＝24. 1515解法二：∵a60=a15+45d, ∴45d=a60-a15=20-8=12, ∴d=
4. 154＝24. 15∴a75=a60+15d=20+15×
命题方向 运用等差数列性质am+an=ap+aq(m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q)解题 ［例2］ 在等差数列{an}中，已知a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21，求数列的通项公式.
［分析］ 要求通项公式，需要求出首项a1及公差d，由a2+a5+a8=9和a3a5a7=-21直接求解很困难，这样促使我们转换思路.如果考虑到等差数列的性质，注意到a2+a8=2a5=a3+a7，问题就好解了. ［解析］ ∵a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21, 又∵a2+a8=a3+a7=2a5， ∴a3+a7=2a5=6，即a5=3. ① ∴a3·a7=-7， ②
由①、②解得a3=-1,a7=7,或a3=7,a7=-1, ∴a3=-1，d=2或a3=7,d=-2.
由an=a3+(n-3)d,得an=2n-7或an=-2n+13.
［说明］ 本题利用等差数列的性质求解，可以使计算过程变简单，达到了事半功倍的效果. 变式应用2 在等差数列{an}中，若a3+a5+a7+a9+a11=100,则3a9-a13的值为（ ）
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A.20 B.30 C.40 D.50 ［答案］ C
［解析］ ∵a3+a5+a7+a9+a11=100, 又∵a3+a11=a5+a9=2a7, ∴5a7=100,∴a7=20, ∴3a9-a13=3(a7+2d)-(a7+6d) =3a7+6d-a7-6d =2a7=40.
探索延拓创新
命题方向 等差数列性质的应用
［例3］ 已知四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数.
［分析］ 此题常规方法是利用已知条件，先求出首项和公差，进而求出这四个数.其实,因为这里成等差数列的四个数之和已知，故可设此四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,这样求解更为方便，但必须注意这时的公差应为2d.
［解析］ 解法一：设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d), 依题意，2a=2,且（a-3d）(a+3d)=-8, ∴a=1,a-9d=-8, ∴d=1, ∴d=1或d=-1.
又知四个数成递增等差数列， ∴d>0,
∴d=1,故所求的四个数为-2，0，2，4.
解法二：若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d)， 依题意，2a+3d=2,且a(a+3d)=-8, 把a=1-2
2
2
3d代入a(a+3d)=-8, 2339d）(1+d)=-8,即1-d2=-8, 2242
得（1-
化简得d=4,∴d=2或-2.
又知四个数成递增等差数列，∴d>0,∴d=2,a=-2. 故所求的四个数为-2，0，2，4.
［说明］ 此题设法很重要，一般地有如下规律：（1）若所给等差数列为2n(n∈N+)项，则可设为：
a-(2n-1)d,?,a-3d,a-d,a+d,a+3d,?,a+(2n-1)d,此数列的公差为2d.(2)若所给等差数列的项数为
2n-1(n∈N+)项,则这个数列可设为：a-(n-1)d,?,a-d,a,a+d,?,a+(n-1)d,这个数列的公差为d. 变式应用3 已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为
85，求这5个数. 9［解析］ 设这五个数依次为a-2d,a-d,a,a+d, a+2d,由题意，得 5a=5
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(a-2d)+(a-d)+a+(a+d) +(a+2d)= a=1 解得 d= a=1 ∴ d=±
2
2222 2
85 94 92 311577511，，1，，或，，1，，-. 33333333名师辨误做答
.
故这五个数为-
［例4］ 在等差数列{an}中，已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6= ［误解］ 39
∵a2+a3=13,∴a5=a2+a3=13, ∴a4+a5+a6=3a5=39.
［辨析］ 误解过程中，a2+a3=a5是错误的，在运用等数列的性质“若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，则am+an=ap+aq”的过程中，一定要明确条件“m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)”的内在含义. ［正解］ 42
设公差为d,∵a2+a3=13, ∴2a1+3d=13,又a1=2,∴d=3. ∴a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42.
课堂巩固训练
一、选择题
1.已知{an}为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7 ［答案］ C
［解析］ ∵{an}为等差数列，∴a2+a8=2a5, ∴2a5=12,∴a5=6.
2.如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+?+a7=（ ）
A.14 B.21 C.28 D.35 ［答案］ C
［解析］ ∵a3+a4+a5=12，∴3a4=12, ∴a4=4.
∴a1+a2+?+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28. 3.等差数列｛an｝中，a4+a5=15,a7=12,则a2=（ ）
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A.3 B.-3 C. 33 D.- 2［答案］ A
［解析］ ∵a4+a5=15, ∴a2+a7=a4+a5=15, 又a7=12.∴a2=3. 二、填空题
4.在等差数列{an}中，a3=7,a5=a2+6，则a6=
.
［答案］ 13
［解析］ 设公差为d,∵a5=a2+6,∴a5-a2=3d=6, ∴a6=a3+3d=7+6=13.
5.等差数列｛an｝中，若a2+a4022=4,则a2012＝ .
［答案］ 2
［解析］ ∵{an}为等差数列， ∴2a2012=a2+a4022, ∴aa?a2012=
240222=42=2. 课后强化作业
一、选择题
1.已知等差数列{an}中，a3=5,a5=9,则a7=（ ）
A.11 B.12 C.13 ［答案］ C
［解析］ 设公差为d,∵a5-a3=2d,∴2d=4,又a7=a5+2d=9+4=13. 2.在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8=（ ）
A.45 B.75 C.180 ［答案］ C
［解析］ 由a3+a7=a4+a6=2a5，得
a3+a7+a4+a6+a5=5a5=450,∴a5=90.
∴a2+a8=2a5=180.
3.下列命题中正确的是（ ）
A.若a,b,c成等差数列，则a2
,b2
,c2
成等差数列
B.若a,b,c成等差数列，则log2a,log2b,log2c成等差数列 C.若a,b,c成等差数列，则a+2，b+2,c+2成等差数列 D.若a,b,c成等差数列，则2a，2b,2c成等差数列 ［答案］ C
［解析］ ∵a,b,c成等差数列， ∴2b=a+c, ∴2b+4=a+c+4,
2D.14 D.300 16