发布时间 : 星期四 文章2016年福建省泉州市高考数学二模试卷（文科）（解析版）更新完毕开始阅读
15．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1底面边长为2，高为3，圆O是等边三角形ABC的内切圆，点P是圆O上任意一点，则三棱锥P﹣A1B1C1的外接球的表面积为 25π ． 【考点】球的体积和表面积．
【分析】求出边三角形ABC的内切圆的半径，可得三棱锥P﹣A1B1C1的外接球的半径，即可求出三棱锥P﹣A1B1C1的外接球的表面积．
【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1底面边长为2， ∴等边三角形ABC的内切圆的半径为∵高为3，点P是圆O上任意一点， ∴三棱锥P﹣A1B1C1的外接球的半径为
=，
=25π． =2，
∴三棱锥P﹣A1B1C1的外接球的表面积为4π×
故答案为：25π．
16．已知函数f（x）=[x3+（a﹣1）x2﹣ax+a]ex，若x=0是f（x）的一个极大值点，则实数a的取值范围为 （2，+∞） ． 【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求导数得到f′（x）=﹣x[x2+（2+a）x+a﹣2]ex，容易判断方程x2+（2+a）x+a﹣2=0有两个不同实数根，并设g（x）=x2+（2+a）x+a﹣2，根据题意便可得到g（0）＞0，从而便可得出实数a的取值范围．
【解答】解：解：f′（x）=﹣x[x2+（2+a）x+a﹣2]ex； 令x2+（2+a）x+a﹣2=0，则△=a2+12＞0；
设g（x）=x2+（2+a）x+a﹣2，∵x=0是f（x）的一个极大值点； ∴g（0）＞0； 即a﹣2＞0； ∴a＞2；
∴实数a的取值范围为（2，+∞）． 故答案为：（2，+∞）．
三、解答题
17．已知a，b，c分别是△ABC的中角A，B，C的对边，acsinA+4sinC=4csinA． （1）求a的值；
（2）圆O为△ABC的外接圆（O在△ABC内部），△OBC的面积为ABC的形状，并说明理由．
【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）由条件利用正弦定理求得a的值． （2）设BC的中点为D，根据△OBC的面积为?BC?OD=
，求得OD的值，可得∠A=60°，
，b+c=4，判断△
再利用余弦定理求得b=c=2，从而判断△ABC为等边三角形． 【解答】解：（1）△ABC的中，∵acsinA+4sinC=4csinA，∴a2c+4c=4ac，∴a=2． （2）∵圆O为△ABC的外接圆（O在△ABC内部），设BC的中点为D，
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∵△OBC的面积为?BC?OD=?a?OD=?2?OD=即△ABC的外接圆的半径r=
，∴OD=，
，∴∠BOC=120°，∴∠A=60°．
∵b+c=4，由余弦定理可得cosA====，
求得bc=4，故b=c=2，故此时，△ABC为等边三角形．
18．如如，在三棱锥A﹣BCD中，AB=AD，BC⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F分别是BD，CD的中点．
（1）求证：CD⊥平面AEF；
（2）已知AB=4，BC=2，CD=2，求三棱锥B﹣AEF的高．
【考点】直线与平面垂直的判定；棱锥的结构特征． 【分析】（1）通过证明AE⊥平面BCD，即可证明AE⊥CD，由点E，F分别是BD，CD的中点，可证EF⊥CD，即可证明CD⊥平面AEF；
（2）由于VB﹣AEF=VA﹣BEF=S△BEF?AE，分别求出S△BEF，在Rt△AEF中，求出S△AEF=AE?EF=
，设三棱锥B﹣AEF的高为h，由VB﹣AEF=S△BEF?h，即可求得三棱锥B﹣AEF
的高．
【解答】解：（1）∵AB=AD，点E为BD的中点， ∴AE⊥BD，…1分
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AE?平面ABD， ∴AE⊥平面BCD，…2分 ∵CD?平面BCD， ∴AE⊥CD，…3分
∵点E，F分别是BD，CD的中点． ∴EF∥BC， ∵BC⊥CD，
∴EF⊥CD，…5分
∵EF∩AE=E，EF，AE?平面AEF， ∴CD⊥平面AEF；…6分
（2）由（1）可知AE⊥平面BCD，
∴线段AE的长就是点A到平面BCD的距离， 又∵EF?平面BCD，
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∴AE⊥EF，
在Rt△BCD中，BC=2，CD=2∴BD=
=4，
，
∴AB=AD=BD=4，故△ABD是边长为4的等边三角形， 又∵AE⊥BD，E为BD的中点， ∴AE=
=2
，
又点E，F分别是BD，CD的中点． ∴EF∥BC，且EF=BC=1， ∴S△BEF=S△BCD=×BC?CD=VB﹣AEF=VA﹣BEF=S△BEF?AE=1， 在Rt△AEF中，S△AEF=AE?EF=设三棱锥B﹣AEF的高为h， 则由VB﹣AEF=S△BEF?h，可得：h=故三棱锥B﹣AEF的高为
…12分
=
=
，
， ，
19．为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响，在肥胖人群中随机抽出8人，他们的肥
mmol/L）mmol/L）胖指数BMI值、总胆固醇TC指标（单位：、空腹血糖CLU指标值（单位：
如表所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 人员编号 BMI值x 25 27 30 32 33 35 40 42 TC指标值y 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.5 6.9 7.1 CLU指标值6.7 7.2 7.3 8.0 8.1 8.6 9.0 9.1 z z与x的相关系数，CLU指标值与BMI（1）用变量y与x，分别说明TC指标值与BMI值、值的相关程度；
（2）求y与x的线性回归方程，已知TC指标值超过5.2为总胆固醇偏高，据此模型分析当BMI值达到多大时，需要注意监控总胆固醇偏高情况的出现（上述数据均要精确到0.01）．
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参考公式：相关系数r=
回归直线y=x+a，其中b=，a=﹣b
参考数据： =33， =6， =8，≈244，≈3.6，
≈5.4，≈28.3，≈35.4，
≈15.6，≈1.9，≈2.3． 【考点】相关系数；线性回归方程．
【分析】（1）根据公式计算变量y与x的相关系数、变量z与x的相关系数，即可判定结论；
（2）求出变量y与x的线性回归方程，利用回归方程求不等式的解集，即得结论． 【解答】解：（1）变量y与x的相关系数是r=变量z与x的相关系数是r′=
=0.99，
=0.95，
可以看出TC指标值与BMI值、CLU指标值与BMI值都是高度正相关； （2）设y与x的线性回归方程是根据所给的数据，计算所以y与x的回归方程是
=
=
x+
，
=6﹣0.12×33=2.04；
=0.12，=0.12x+2.04，
由0.12x+2.04≥5.2，可得x≥26.33；
所以，据此模型分析当BMI值达到26.33时，需要注意监控总胆固醇偏高情况的出现．
20．已知定点F（0，1），动点M（a，﹣1）（a∈R），线段FM的中垂线l与直线x=a交于点P．
（1）求动点P的轨迹Г的方程；
（2）当△PFM为正三角形时，过点P作直线l的垂线，交轨迹Г于P，Q两点，求证：点F在以线段PQ为直径的圆内． 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（1）根据|PF|=|PM|可知P的轨迹为以F为焦点，以y=﹣1为准线的抛物线； （2）求出PQ的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系和弦长公式计算|PQ|，PQ的中点N，|NF|，通过比较|NF|与|PQ|的大小得出结论．
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