发布时间 : 星期四 文章2020版高考数学二轮复习第1篇专题3数列第1讲小题考法 - 等差数列与等比数列学案更新完毕开始阅读
第1讲 小题考法——等差数列与等比数列
一、主干知识要记牢 1．等差数列、等比数列
通项公式 等差数列 等比数列 an＝a1＋(n－1)d na1＋annn－Sn＝＝na1＋22an＝a1qn－1(q≠0) a11－qn(1)q≠1，Sn＝＝1－qa1－anq； 1－q(2)q＝1，Sn＝na1 前n项 和公式 d 2.判断等差数列的常用方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N)?{an}是等差数列．
(2)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N)?{an}是等差数列． (3)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N)?{an}是等差数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝An＋Bn(A，B为常数，n∈N)?{an}是等差数列． 3．判断等比数列的常用方法 (1)定义法：2
*
*
*
*
an＋1*
＝q(q是不为0的常数，n∈N)?{an}是等比数列． ann*
(2)通项公式法：an＝cq(c，q均是不为0的常数，n∈N)?{an}是等比数列． (3)中项公式法：an＋1＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N)?{an}是等比数列． 二、二级结论要用好
1．等差数列的重要规律与推论
(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；p＋q＝m＋n?ap＋aq＝am＋an． (2)ap＝q，aq＝p(p≠q)?ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd．
(3)连续k项的和(如Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…)构成的数列是等差数列．
(4)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，
2
*
S奇am＝． S偶am＋1
(5)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶
，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，2．等比数列的重要规律与推论
S奇m＝． S偶m－1
1
(1)an＝a1qn－1
＝amqn－m；p＋q＝m＋n?ap·aq＝am·an．
(2){an}，{bn}成等比数列?{anbn}成等比数列．
(3)连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)构成的数列是等比数列(注意：这连续m项的和必须非零才能成立)．
(4)若等比数列有2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则(5)对于等比数列前n项和Sn，有：
S偶
＝q． S奇
Sm1－qm①Sm＋n＝Sm＋qSn；②＝(q≠±1)．
Sn1－qnm三、易错易混要明了
已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1．
考点一 数列的递推公式
由an与Sn的关系求通项公式的注意事项
(1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论，特别注意an＝Sn－Sn－
1
成立的前提是n≥2．
(2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合，则需统一表示(“合写”)． (3)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分
??S1n＝
写”)，即an＝?
?Sn－Sn－1?
，
n
1．(2018·潍坊二模)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝－n－n，则数列?的前40项的和为( D )
39
A． 4040C． 41
2
2
2?n＋
???an?
39B．－
4040D．－
41
解析 根据Sn＝－n－n，可知当n≥2时，
2
an＝Sn－Sn－1＝－n2－n－[－(n－1)2－(n－1)]＝－2n，
当n＝1时，a1＝S1＝－2，上式成立，所以an＝－2n， 所以2n＋
an＝－
2n2n＋
1??1
＝－?－?，
?nn＋1?
所以其前n项和
?? Tn＝－?1－＋－＋…＋－
nn＋1??234?
＝－?1－
11111
?
?
1?n＝－， ?n＋1?n＋1
40
所以其前40项和为T40＝－，故选D．
41
2．(2018·齐齐哈尔二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝4，S4＝30，n≥2时，
an＋1＋an－1＝2(an＋1)，则{an}的通项公式an＝__n2__．
解析 由an＋1＋an－1＝2(an＋1)得an＋1－an＝an－an－1＋2(n≥2)．又a3＋a1＝2(a2＋1)＝10，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝14＋a4＝30，∴a4＝16．
又a4＋a2＝2(a3＋1)，∴a3＝9，∴a1＝1，∴a2－a1＝3， ∴数列{an＋1－an}是首项为3，公差为2的等差数列， ∴an－an－1＝3＋2(n－2)＝2n－1(n≥2)，
∴当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋1＝n，
又a1＝1满足上式，∴an＝n(n∈N)． 考点二 等差、等比数列的基本运算
2
*
2
等差(比)数列基本运算的解题思路 (1)设基本量：首项a1和公差d(公比q)．
(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(或q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．
1．(2018·南充三联)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－5，则a1－a2－a3－a4＝( D ) A．－14 C．11
B．－9 D．16
解析 等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－5，所以公差d＝
a3－a1
2
＝－3.所以a1－a2－a3－
3
a4＝a1－(a1＋d)－(a1＋2d)－(a1＋3d)＝－2a1－6d＝－2＋18＝16．
1
2．已知等比数列{an}满足a1＝4，a2a6＝a4－，则a2＝( A )
4A．2 1C． 2
B．1 1D． 8
1153
解析 因为a2a6＝a4－，所以4q·4q＝4q－．
44111?31?233
∴?4q－?＝0.∴4q－＝0.q＝，q＝．
2?282?
a2＝4q＝4×，选A．
3．(2018·河南一模)在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是( B )
A．21 C．19
B．20 D．18
1
2
解析 因为a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，所以a3＝35，a4＝33，从而d＝－2，a1
12
＝39，Sn＝39n＋n(n－1)(－2)＝－n＋40n.所以当n＝20时Sn取最大值，选B．
2
4．(2018·湖南联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下1尺，重4斤；在最细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其总重量为W，则
W的值为( C )
A．4 C．15
B．12 D．18
解析 由于粗细是均匀变化的， 所以为等差数列，即a1＝4，a5＝2，所以总重量为S5
＝
a1＋a5
2
×5＝15.故选C．
考点三 等差、等比数列的性质
等差、等比数列性质问题的求解策略
(1)解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．
(2)运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性
4