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五年级奥数测试卷
一、填空
1、在不大于100的自然数中，被13除后商和余数相同的数有多少个，分别是（ ）。 答：14的倍数都可以。 有8个。 0，14，28，42，56，70，84，98
2、a、b是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72，那么a与b的和可以有（ ）种不同的值。 答：不妨设A>B
72的约数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72。共12个 72=2*2*2*3*3
当A=72时，有11种B； 当A=36时，有2种B；8、24 当A=24时，有2种B；9、18 当A=18时，有1种B；8 当A=12时，无；
当A=9时，有1种B；8
共计11+2+2+1+1=17种，所以有17种A+B的值。 这类题的解法是：
1.找出这个最小公倍数的所有因数，用这个最小公倍数与这些因数组合（除它本身外）。 2.在这些因数中找出不是倍数关系且积不小于这个最小公倍数的两个数的所有组合，去除最小公倍数不是72的组合。
3.把1和2找出的组数个数相加即可。 如本题的个数即为11+7=18个
3、有一个七层塔，每一层所点灯的盏数都等于上一层的2倍，一共点了381盏灯。求顶层点了（ ）盏灯。
答：因为381是一个奇数，而每一层都是上一层的2倍，所以顶层一定是一个奇数，如果顶层是1盏灯，那么1+2+4+8+16+32+64不够，顶层是3盏的话，3+6+12+24+48+96+192=381.
4、有这样一个百层球垛，这个球垛第一层有１个小球，第二层有３个小球，第三层有６个小球，第四层有１０个小球，第五层有１５个小球，??第一百层有（ ）个小球。这一百层共有（ ）个小球。
答：第一层：1；第二层：3；第三层：6；第四层：10；第五层：15
规律：第一层：1；第二层：1+2=3；第三层：1+2+3=6；第四层：1+2+3+4=10；第五层：1+2+3+4+5=15 根据等差数列公式：Sn=(a1+an)×n/2
第100层小球个数：1+2+3+??+100=(1+100)×100/2=5050
100层共有小球个数：1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+??+(1+2+3+??+100) =1×(1+1)/2+2×(2+1)/2+3×(3+1)/2+??+100×(100+1)/2 =1/2×[(1+12)+(2+22)+(3+32)+??+(100+1002)] =1/2×[(1+2+3+??+100)+(12+22+32+??+1002)] =100×(100+1)×(100+2)/6=171700
证明过程：根据(n+1)3=n3+3n2+3n+1，得 (n+1)3-n3=3n2+3n+1,
n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1 .............................. 33-23=3×22+3×2+1 23-13=3×12+3×1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)3-1=3(12+22+32+....+n2)+3(1+2+3+...+n)+n×1 n3+3n2+3n+1 -1-n=3(12+22+32+....+n2)+3(1+2+3+...+n) (n3+3n2+2n)/3=(12+22+32+....+n2)+(1+2+3+...+n) 所以：(12+22+32+....+n2)+(1+2+3+...+n)=n(n+1)(n+2)/3
5、一本书的页码由7641个数码组成，这本书共有（ ）页。
答：这本书的页数是四位数，1～999共用2889个数码，（7641－2889）÷4=1188，因四位数是从1000开始的，所以页数为999＋1188＝2187
6、某校举行体育达标测评，分两试进行，初试达标人数比未达标人数的3倍多14人，复试达标人数增加33人，正好是未达标人数的5倍，问有（ ）人参加了达标测评。 答：设初试未达标人数为X 则 3x+14+33=5*(x-33) 解得 x=106 总人数 3x+14+x=438
7、10块的巧克力，小明每天至少吃一块，直至吃完，问共有（ ）种不同的吃巧克力的方案。
答：这个问题属于排列组合问题，用插板法，把十块巧克力排成一排，中间有9各空当。如果10天吃完，就用9个板插入9个空档，即C9/9,如果9天吃完，就用8个板插入9个空档，即C8/9,依此类推，如果2天吃完，就用1个板插入9个空档，即C1/9,如果1天吃完，就用0个板插入9个空档，即C0/9,结果为（C9/9+C8/9+C7/9...+C0/9)=2^9=512种方案。 另答：设X为几块巧克力，则就是2的（X-1） 次方 。
8、小明要登上15级台阶，每步登上2级或3级台阶，共有（ ）种不同登法。 答：因为每次登2级或3级，所以登1级的方法数是0，登2级和3级的方法数都是1，登4级的方法数是登1级与登2级的方法数之和，即0+1=1.依此类推，登n级的方法数是登(n-3)级与登（n-2）级的方法数之和。所以这串数（取法数）中，从第4个数起，每个数都是它前面第3个数与前面第2个数之和。登完15级台阶共有28种不同取法。具体表格如下： 已登级数 取法数 已登级数 取法数 9 5 10 7 11 9 12 12 13 16 14 21 15 28 1 0 2 1 3 1 4 1 5 2 6 2 7 3 8 4
二、解答题：
1、某校五年级有两个班，每班的人数都是小于50的整十数。期末数学考试两个班的总平均分为78分，其中一班平均82分，二班平均75分。一班和二班各有多少人？
解答：解设一班有X人，二班有Y人。
则82X+75Y=78（X+Y)，解得4X=3Y。
而每班的人数都是小于50的整十数，所以X=30，Y=40。
2、数1447、1005、1231有一些共同特征,每个数都是以1开头的四位数,且每个数中恰好有两个数字相同,这样的数共有多少个?
答：①恰是数字1出现了2次。那么末3位数字1的位置有3种。剩余的两位中9选2
的排列有9*8=72种，共9*8*3 = 216种；
②不是数字1出现了2次。那么再选一重复出现的数字A、一不重复出现的数字B的种类 = 9*8 = 72，三个数A、A、B的排序种数 = 3 【AAB、ABA、BAA】，共有72*3 = 216种 综上，共有216 + 216 = 432种
3、甲在南北路上，由南向北行进；已在东西路上，由西向东行进。甲出发的地点在两条路交叉点南1120米，乙从交叉点出发，两人同时开始行进，4分钟后，甲乙两人所在的位置与交叉点等远（这时甲仍在交叉点南），在经过52分钟后，两人所在的位置又距交叉点等远（这时甲在交叉点北）。求甲、乙二人的速度。
解：设甲速为X，乙速为Y。则1120-4X＝4Y；56X-1120＝56Y 解得：X＝150米/分钟，Y＝130米/分钟
所以，甲1分钟走150米。乙1分钟走130米。
奥数网五年级暑期班招生测试卷
一、填空：（每小题6分，共84分）
1. 333×332332333－332×333333332=__________。 333×332332333－332×333333332
=333×（332332332+1）-332×（333333333—1）
=333×332332332+333×1—（332×33333333—332×1） =333×332332332+333—332×333333333+332
=333×332×1001001+333—332×333×1001001+332=665
2. 小明带20元去文具店买作业本，他买了5个小练习本和2个大练习本后，剩下的钱若买3个小练习本还多8角，若买3个大练习本还差1元。每个大练习本_____元。
答：大的2.4元，小的1.8元
解：设大的x元，小的y元则有 2x+8y=19.2 ； 5x+5y=21
联立解方程组 x=2.4，y=1.8
3. 甲、乙、丙三人外出参观。午餐时，甲带有4包点心，乙带有3包点心，丙带有7元钱却没有买到食物，他们决定把甲、乙二人的点心平均分成三份食用，由丙把7元钱还给甲和乙，那么甲应分得_____元。
答：每包7÷【（4+3）÷3】=3元；甲分3×4-7=5元；乙分3×3-7=2元。
4. 3042乘以一个自然数 A，乘积是一个整数的平方，那么A最小是（ ）。
答：A=2了 因为3024=13?3?2所以3024只须乘以2就可变成78的平方。 练习：3465乘以一个自然数a，乘积是一个整数的平方，那么a最小是多少
22答：3465 = 3?5?7?11，所以 如果 3465a是平方数，则a最小是 5*7*11 = 385
4. 6枚壹分硬币叠在一起与5枚贰分硬币一样高，4枚壹分硬币与3枚伍分硬币一样高。如果用壹分、贰分、伍分硬币叠成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了155枚硬币，这些硬币的币值为____元。
2 答：解：设壹分硬币X枚。155=X+（5X/6）+（3X/4） 解得X=60 所以贰分硬币有
60*（5/6）=50枚 伍分硬币有60*（3/4）=45枚 60+2*50+45*5=385（分）=3.85（元）
另答：解，设每个一分高为A、二分的高B、为五分的为C。 得6A=5B 4A=3C 则连接两式，很12A=10B=9C， 三堆硬币一样高的话，个数比为12:10:9，所以(12+10+9)N=155，N=5。所以一分的有60个，二分的有50个，五分的有45个，得，钱数=60*1+50*2+45*3=385分=3.85元 。
5. 如图，一个长方形由4个小长方形A、B、C、D组成，其中A、B、C面积分别为16、12、24，D的面积是（ 32 ）。
答：有规律，交叉相乘，A×C=B×D，所以16×24=12×（），（）里填32.
6. 某人在公共汽车上发现一个小偷向反方向步行，10秒钟后他下去追小偷，如其速度比小偷快一倍，比汽车慢4/5，则追上小偷要____秒。
A D B C 答： s是距离，小偷速度=x米/秒，人速度=2x米/秒；车速度=10x米/秒
人在车上和小偷反向走，他下车时与小偷相距10*（x+10x）=110x米 他追小偷，速度差是x，所用时间=110x/x=110秒。
7. 在1，2，3，?，1999，2000，2001，2002这2002个数中，至多能选出____个数，使得所选出的数中，任意3个数的和都是3的倍数。
解：在2002个数字中，可分为3种类型：a、被3整数；b、被3除余1；c、被3除余2；很显然，任意3个a、任意3个b或者任意3个c类的数字之和都可以被3整除 题目转换为求2002个数字中，a、b、c三类数字是哪种类型最多。由于2002被3除余1，所以是b类最多，个数=2001/3+1=668；最多能选出668个这样的数字（选出的数字是1,4,7,10,13，??，1999,2002）
8. 六位同学数学考试平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高分99分，最低分76分，那么，按分数从高到低的顺序，第三位同学至少得______分。
答：6人总分92.5×6=555分，让头两人和76分者分数尽量高，这三人就是99分，98
分，76分，555减（99+98+76）=282分，282分平分为3份，一份282除以3=94，三人分数不同，第五名最多93分，因此第三名最少95分。 94-1=93（分）；282-94-93=95（分）
算式：92.5×6=555（分）； 555-（99+98+76）=282（分）； 282÷3=94（分）；