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用最小二乘拟合求y?f(t).
29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT算法的程序框图.
31. 现给出一张记录?xk???4,3,2,1,0,1,2,3?,试用改进FFT算法求出序列?xk?的离散频谱
?Ck?(k?0,1?,,7 )第四章 数值积分与数值微分
1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精
度:
(1)??h(2)??2h(3)??1(4)?h012hhf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h); ; ;
f?(h)?1f(x)dx??f(?1)?2f(x1)?3f(x2)?/3f(x)dx?h?f(0)?f(h)?/1?ah2?f?(0)?.
2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:
?(1)
10x4?x2dx,n?8?; (2)
10(1?ex?x)2dx,n?10; .
(3)?1; (4)?03. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.
xdx,n?49?6?sin?dx,n?624. 用辛普森公式求积分?0并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:
1edx?x?(1)
(2)
babaf(x)dx?(b?a)f(a)?f(x)dx?(b?a)f(b)?a?b2)?f?(?)2f?(?)2f?(?)24(b?a)(b?a)2;
2?;
3?(3)
baf(x)dx?(b?a)f((b?a).
b6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n??时收敛到积分?a7. 用复化梯形公式求积分?a计舍入误差)?
bf(x)dx.
f(x)dx,问要将积分区间?a,b?分成多少等分,才能保证误差不超过?(设不
28. 用龙贝格方法计算积分??10edx??x,要求误差不超过10.
S?a?20?59. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是
c221?()sin?d?a,这里a是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h为近地点距离,H为远地点距离,R?6371公里为地球半径,则a?(2R?H?h)/2,c?(H?h)/2.我国第一颗人造卫星近地点距离h?439公里,远地点距离H?2384公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式
似值.
nsin?n????323!n??545!n??试依据nsin(?/n)(n?3,6,12)的值,用外推算法求?的近
y并比较结果. 11. 用下列方法计算积分
(1) 龙贝格方法;
(2) 三点及五点高斯公式;
(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.
1?3dyf(x)?1(1?x)在x?1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.f(x)的
212. 用三点公式和五点公式分别求
值由下表给出: 1.0 1.1 x f(x) 1.2 0.2066 1.3 0.1890 1.4 0.1736 0.2500 0.2268 第五章 常微分方程数值解法
1. 就初值问题y??ax?b,y(0)?0分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确
2解相比较。
2. 用改进的尤拉方法解初值问题
y?1ax2?bx?y??x?y,0?x?1;??y(0)?1,
取步长h=0.1计算，并与准确解y??x?1?2e相比较。 3. 用改进的尤拉方法解
?y??x2?x?y;??y(0)?0,
?x2取步长h=0.1计算y(0.5)，并与准确解y??e?x?x?1相比较。 4. 用梯形方法解初值问题
?y??y?0;??y(0)?1,
nx证明其近似解为
?2?h?yn???,2?h?? ?x并证明当h?0时，它原初值问题的准确解y?e。 5. 利用尤拉方法计算积分
??y??x?y,0?x?1;? 1）?y(0)?1, ?y??3y/(1?x),0?x?1;? 2）?y(0)?1.
x0edtt2
在点x?0.5,1,1.5,2的近似值。
6. 取h=0.2，用四阶经典的龙格－库塔方法求解下列初值问题：
7. 证明对任意参数t，下列龙格－库塔公式是二阶的：
8. 证明下列两种龙格－库塔方法是三阶的：
h?y?y?(K2?K3);n?n?12??K?f(x,y);nn?1?K?f(x?th,y?thK);2nn1???K3?f(xn?(1?t)h,yn?(1?t)hK1).
h?y?y?(K1?3K3);n?n?14??K1?f(xn,yn);??hhK?f(x?,y?K1);nn?233?22?K3?f(xn?h,yn?hK2);?331） ? h?y?y?(2K1?3K2?4K3);n?n?19??K1?f(xn,yn);??hhK?f(x?,y?K1);nn?222?33?K3?f(xn?h,yn?hK2).?442） ?
9. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题：
y??1?y,y(0)?0,
?x取h?0.2,y0?0,y1?0.181,计算y(1.0)并与准确解y?1?e相比较。 10. 证明解y??f(x,y)的下列差分公式
yn?1?12(yn?yn?1)?h4??1?yn??3yn??1)(4yn是二阶的，并求出截断误差的首项。
11. 导出具有下列形式的三阶方法： 12. 将下列方程化为一阶方程组：
y???3y??2y?0,
??b1yn??1?b2yn??2).yn?1?a0yn?a1yn?1?a2yn?2?h(b0yn
1）y(0)?1,y?(0)?1;
y???0.1(1?y)y??y?0,22）y(0)?1,y?(0)?0;3）
x??(t)??xr3
yr3,y??(t)??,r?x?y,22
x(0)?0.4,x?(0)?0,y(0)?0,y?(0)?2. 13. 取h=0.25，用差分方法解边值问题
?y???y?0;??y(0)?0,y(1)?1.68.
14. 对方程y???f(x,y)可建立差分公式
yn?1?2yn?yn?1?hf(xn,yn),2试用这一公式求解初值问题
?y???1;??y(0)?y(1)?0,
验证计算解恒等于准确解
y(x)?x?x22.15. 取h=0.2用差分方法解边值问题
?(1?x2)y???xy??3y?6x?3;??y(0)?y?(0)?1,y(1)?2.
第六章 方程求根
1. 用二分法求方程x?x?1?0的正根，要求误差<0.05。
2. 用比例求根法求f(x)?1?xsinx?0在区间[0,1]内的一个根，直到近似根xk满足精度
|f(xk)|?0.005时终止计算。
323. 为求方程x?x?1?0在x0?1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。 21）x?1?1/x，迭代公式xk?1?1?1/xk；
222）x?1?x，迭代公式
x232xk?1?31?xk2；
x?1，迭代公式xk?1?1/xk?1。 3）
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。
?14. 比较求e?10x?2?0的根到三位小数所需的计算量； 1）在区间[0,1]内用二分法； 2) 用迭代法xk?1?(2?exkx)/10，取初值x0?0。
5. 给定函数f(x)，设对一切x,f?(x)存在且0?m?f?(x)?M，证明对于范围内0???2/M的任
?意定数λ，迭代过程xk?1?xk??f(xk)均收敛于f(x)的根x。 6. 已知x??(x)在区间[a,b]内只有一根，而当a |??(x)|?k?1， 试问如何将x??(x)化为适于迭代的形式？ 将x?tgx化为适于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。 3?7. 用下列方法求f(x)?x?3x?1?0在x0?2附近的根。根的准确值x＝1.87938524…，要求计算结果准确到四位有效数字。 1) 用牛顿法； 2）用弦截法，取x0?1,x1?1.9； 3）用抛物线法，取x0?1,x1?3,x2?2。 8. 用二分法和牛顿法求x?tgx?0的最小正根。 9. 研究求a的牛顿公式 xk?1?12(xk?axk),x0?0, a且序列x1,x2,?是递减的。 ?10. 对于f(x)?0的牛顿公式xk?1?xk?f(xk)/f(xk)，证明 Rk?(xk?xk?1)/(xk?1?xk?2)2证明对一切k?1,2,?,xk? 收敛到?f??(x)/(2f?(x))，这里x为f(x)?0的根。 11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度： ???