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19. 证：(a)
TT(AA)TTTTn?AA，?x?R,x?0,设Ax?(a1,?,an)22T，则
x(AA)x?(Ax)(Ax)?a1???an?0，ATA为对称正定阵。
(b) 因为ATA为对称阵，所以
左
?cond(AA)2?T?max(AA)?min(AA)
T2T?(cond(A)2)?(A22A?1右
20. 证：A为严格对角占优，则A?1存在。
A?1??2)??2???max(AA)???T?min(AA)??T左。
A?max?1x??x
第九章 矩阵的特征值与特征向量计算习题参考答案
1．(a)取初始值(1,1,1)得 k ukT 0.750000 0.617564 0.606413 0.605660 0.605583 0.000000 -0.371105 -0.393095 -0.394145 -0.394377 max(vk) 1 1.000000 3 1.000000 5 1.000000 7 1.000000 8 1.000000 (b)取初始值(1,1,1)得 k ukT8.000000 9.540540 9.604074 9.603921 9.605270 max(vk) 0.714286 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.249743 0.159119 0.151490 0.151176 n 1 5 9 13 14 0.285714 -0.489303 -0.594720 -0.603581 -0.603946 7.000000 8.561447 8.856237 8.867829 8.868794 2．????(T),?x?0，使得(T??I)x?0，即
nT??I?n?i?1iiTii??I?0，一定存在i使得
nTii??I?0，则???(Tii)，
?1?(T)???(Ti?1ii)，反之i?1??(T)??(T)?(T)?，故
??(Ti?1ii)。
(A?6I)3．
?14/27??11/27??5/27?11/27?2/27?1/275/27???1/27??4/27??，由幂法得?max(A?6I)?1?0.750741，原矩阵最接
T?A?7.33202xmax近6的特征值为，对应的特征向量为?(1,0.485551,0.185986)。
4．设特征向量为x?(a,b,c)，则有4a?4a,3b?c?4b,b?3c?4c，解得对应的特征向量为
x1?(1,0,0),x2?(0,1,1)TTT。
5．雅可比迭代进行五步可得?1?2.53652,?2??0.0166474,?3?1.48023，对应的特征向量分别为
x1?(0.531632,0.461334,0.710313)TT，
x2?(?0.721102,0.686454,0.0938701)， x3?(?0.444293,?0.562111,0.697592)，
T最优值p?1.26658。
6．(a)
Px?e1，P正交，则P第一列P1?xTT，B1?PAP1?PAx??Px??e1，又B?PAPPTT是
对称矩阵，B的第一行和第一列除?外均为零。(b)
?2/3?P?1/3??2/3?1/32/3?2/32/3???2/3??1/3??为反射阵，Px?e1?Pe1?x，解得
TB?PAP，
?9??0??0??501800??0??9??0。
7．由豪斯荷尔德方法得
?1?U?0??0?0?0.6?0.80???0.8?0.6???1?B?UAU??5??0?2.920.56??0.56??0.92??。
，
8．
aj1??ai1sin??aj1cos??0sin??aj1ai1?aj122(2)，
ai1ai1?aj122,cos??解得
代入得
，
,(PijA)jk?ajkcos??aiksin??ajkai1?aikaj1a?a2i12j1(PijA)ik?aikcos??ajksin??aikai1?ajkaj1a?aTT2i12j1,9.(a)(b)
由
Ax?AP1P2?Pn?2y?P1?Pn?2Pn?2?P1AP1?Pn?2y?P1?Pn?2An?1y??P1?Pn?2y，
An?2?Pn?2An?1Pn?2T可求出初等反射阵Pn?2，依次类推，x?P1P2?Pn?3Pn?2y。 ，带位移QR方法计算可得
10．(a)令
sk?a33(k)?1?3.37215,?2?1.99872,?3??2.37079 ，
(b) 令
sk?a33(k)，带位移QR方法计算可得
?5????5??25???5????0??????0???3??0?A?0???0?1?????1?3.73169,?2?2.00036,?3?0.267949。
??1??R?0????0?0?555??50???325????05???25???????35?23053255550010?330253???3??3??11．
A?，故有
?1/3?Q?R2/3??2/3??2?/3????1/3???2?/3???2?/3?3?2/3?0?1/?3??03033。