发布时间 : 星期日 文章北航2012年 第二学期 理论力学复习题更新完毕开始阅读
10. 错； 11.错；12. 错；13. 对；14. 错；15. 对；16. 错；17. 错；18. 错；19. 对；20. 错；21. 错；22.错；23.对；24. 对；25. 错；26. 错；27. 对；28. 对。 四、证明题
1. 证明：变换Q?qp ,P?lnp是正则变换。 解：由题意，p?QQ ,P?ln; 以此代入正则变换关系式，则 qqQQQdq?lndQ?d(Q?Qln)?dU qqqQ 问题得证。 qpdq?PdQ?? 母函数 U(q,Q)?Q?Qln2. 均质实心圆球和一外形相等的空心球壳沿着一斜面同时自同一高度自由滚下，证明它们经过相等距离所需的时间比是21:5。
解：设空心球角加速度为?1，实心球角加速度为?2，则
I1?1?M1；I2?2?M2
I1?2527m1r2?m1r2?m1r2；I2?m2r2?m2r2?m2r2 3355?1?m1grsin?3gmgrsin?5g?sin?；?2?2?sin?
575r7rm1r2m2r23553? ? ?2??1 751212a1t1?a2t2 22?
又 ? S?tt12a2?2255 2? 1? ??t2t2a1?121213.质量为m的小环M，套在半径为a的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动。如果圆圈在水平面内以匀角速?绕圈上某点o转动,证明小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：
?????2sin??0证：以地面为参考系，则小环的运动微分方程为：
?????2??mr?r??Ncos??2 ???m?r????2r???Nsin????2其中r?2acos?2,???t??2,?为M与圆心C的连线和通过O点的直径间所夹的角
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tan?2????2r???r? ?2?????r?r????acos??2?2?2?2????asin?22??????1??acos??2asin??????22?2??????sin??2?0 化简得 ?或用平面转动非惯性系动力学求解。
?????????rma??F?m??m?2r?2m??v?
???????r??2acossinet?2acoscosen
2222mdv?????m?2asin? ?ma?dt???sin??2?0 ?4.一光滑球A与另一静止的光滑球B发生斜碰。如两者均为完全弹性体，且两球的质量相等，则两球碰撞后的速度互相垂直，试证明之。 证：以AB连线建立x坐标轴。
设A以初始速度为v0沿x轴正向与B相碰，碰撞后，A、B速度分别为v1、v2，其与x轴正向夹角分别为?1、?2。以A、B为研究对象，系统不受外力，动量守恒。
???x方向： mv0?mv1cos?1?mv2cos?2 （1）
垂直x轴方向： 0?mv1sin?1?mv2sin?2 （2） 因 mv0?mv1?mv2，v0?v1?v2，则
22v0?v12?v2?2v1v2cos(?1??2) （3）
??????整个碰撞过程只有系统内力做功，系统机械能守恒：
121212mv0?mv1?mv2 （4） 222由（3）、（4）得
2v1v2cos(?1??2)?0
?1??2?k???2?k?0,1,2,????
即两球碰撞后速度相互垂直，结论得证。
8ma2h25. 试证质点受有心力作用而作圆r?2acos?的运动时，则F??。
r5证明：u?111?； u2?2 2r2acos?4acos? 10
dusin?? 2d?2acos?d2u1218a21?(?)?3?
rd?22acos3?cos?r h?r??2??u2
2??F?du??u)??代入比耐公式 h2u2( 得
md?28ma2h2 F??5r五、计算题
1. 质量为m1的质点B，沿倾角为?的光滑直角劈A滑下，劈的本身质量为m2，又可在光滑水平面上自由滑动。试求：（a）质点水平方向的加速度；（b）劈的加速度。
?c?0 （1） 解：把m1,m2视为一个系统，系统在x轴方向动量守恒 x?1?m2x?2?0 （2） m1x?2??x求导： ?m1??1 （3） xm2????????????1?a???xx?x2；ax?x1?x2；ay?y1?y2 （4） tan???a?ya?x????1???2yy?2?0 （5） y；且???1???2xxm1?m2tan? （6） m2图5-1
?1????1yx所以， ??1?R1sin?；m1??1?R1cos??m1g （7） m1?xy?1?x由（3）（6）（7）式可解得：?m2sin?cos?m1sin?cos???gx??g ；222m2?m1sin?m2?m1sin?2. 半径为c的均质圆球，自半径为b的固定圆球的顶端无初速地滚下，试由哈密顿正则方程求动球球心下降的切向加速度。
解：设?为A球绕其球心旋转的角速度。
c?b????? (c?b)??c?c?2m122L?T?V?(c?b)??(mc2)?2?mg(c?b)cos?
225图5-2
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?2?2mm22 ?(c?b)??(c?b)??mg(c?b)cos?
25??2722P????m(c?b)??m(c?b)??m(c?b)?
55??2??LP?5??P?5?? ， ??227m(c?b)7m(c?b)???p?P?572?5H??p?q??L??m(c?b)?mg(c?b)cos? ?2?7m(c?b)2107m(c?b)???22P?5?mg(c?b)cos? ?14m(c?b)2??5mg(c?b)sin?5gsin??H?P????mg(c?b)sin?， ?? 277(c?b)m(c?b)??2A球球心下降的切向加速度：aA?(c?b)??3. 质量为M，半径为r的均质圆柱体放在粗糙水平面上。柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m的物体。设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。求圆柱体质心的加速度a1，物体的加速度a2及绳中张力T。
??5gsin? 7rM图5-3 图五.3m?解：如图，设圆柱体的转动角速度为????k，
?设它受到地面的摩擦力为f，由动量定理和动量矩定理知：
yArTTo??Fx?c?Ma1 （1） ?T?f?M?xoCxMm1? （2） M??Tr?fr??Mr2??z2对于滑块，由动量定理知：
Bf题五.3图?Fy???ma2 （3） ?T?mg?m?y?c?r?，两边对时间求导得： 又由无滑滚动条件知：x? （4） ?c?r?a1??x? 以C为基点： aAx?a1?r?假设绳不可拉伸。则 aAx?a2
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