发布时间 : 星期三 文章线性代数综合练习题（修改）更新完毕开始阅读
8. 设A，B为n阶方矩阵,A2?B2,则下列各式成立的是( )。
(a) A?B (b) A??B (c) A?B (d) A?B 9. 设A，B均为n阶方矩阵,则必有( )。
(a) A?B?A?B (b) AB?BA (c) AB?BA (d) A?B 222210.设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ ）。 （a）2A?2AT (b) (2A)?1?2A?1
(c) [(A?1)?1]T?[(AT)T]?1 (d) [(AT)T]?1?[(A?1)T]T 11.设A为n阶方阵，且|A|?0，则（ ）。 （a）A经列初等变换可变为单位阵I （b）由AX?BA，可得X?B
（c）当(A|I)经有限次初等变换变为(I|B)时，有A?1?B
（d）以上（a）、（b）、（c）都不对
二、填空题
1.设A为n阶方阵,I为n阶单位阵,且A2?I,则行列式A?_______
?102.设2A??1??020??，则行列式(A?3I)?1(A2?9I)的值为__ _____
??001??
三、计算题
1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).
?1) ?223??1?10???X??22??10?32?? ； 2) AX?A2?X?I,其中A???02???121????0?2????10
1?0??
1??；5
?1?10???2.已知A??021?,求(A?2I)(A2?4I)?1.
?10?1????30?1??11?????3．设A??130?，B??01?，且满足AX?2X?B，求X。
?10???1?13??????120??4. 设n阶方阵A,B满足A?2B?AB，已知B???120??，求矩阵A.
?003???四、证明题
1. 设A、B均为n阶非奇异阵,求证AB可逆.
2. 设n阶矩阵A,B满足A?B?AB，证明：(B?E)(A?E)?(A?E)(B?E)； 3. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.
4. 证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。
6
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
一、单项选择题
1．设n元齐次线性方程组AX?0的系数矩阵的秩为r，则AX?0有非零解的充分
必要条件是（ ）
(A) r?n (B) r?n (C) r?n (D) r?n
2．设A是m?n矩阵，则线性方程组AX?b有无穷解的充要条件是（ ）
(A) r(A)?m (B) r(A)?n
(C) r(Ab)?r(A)?m (D) r(Ab)?r(A)?n 3.设A为m?n阶矩阵，秩(A)?r?m?n，则（ ）。
（a）A中r阶子式不全为零 （b）A中阶数小于r的子式全为零
?Ir（c）A经行初等变换可化为??0?0?? （d）A为满秩矩阵 ?0?4.设A为m?n矩阵，C为n阶可逆矩阵，B?AC，则( )。 (a) 秩(A)> 秩(B) (b) 秩(A)= 秩(B)
(c) 秩(A)< 秩(B) (d) 秩(A)与秩(B)的关系依C而定 5.A，B为n阶非零矩阵，且AB?0，则秩(A)和秩(B)( )。 (a)有一个等于零 (b)都为n (c)都小于n (d)一个小于n，一个等于n
6.n阶方阵A可逆的充分必要条件是( )。
(a) r(A)?r?n (b) A的列秩为n (c) A的每一个行向量都是非零向量 (d) 伴随矩阵存在 7. n阶矩阵A可逆的充要条件是( )。 (a) A的每个行向量都是非零向量 (b) A中任意两个行向量都不成比例
(c) A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示
(d) 对任何n维非零向量X，均有AX?0
8．设A是m?n矩阵，非齐次线性方程组AX?b的导出组为AX?0，若m?n，则（ ）
(A) AX?b必有无穷多解 (B) AX?b必有唯一解
7
(C) AX?0必有非零解 (D) AX?0必有唯一解 9．设A,B为n阶非零矩阵，且AB?0，则 （ ） (A) r(A)?r(B)?n (B) r(A)?n,r(B)?0 (C) r(A)?r(B)?n (D) r(A)?r(B)?n 10．设A为m?n矩阵，则下列结论正确的是（ ）
(A) 若AX?0仅有零解 ，则AX?b有唯一解 (B) 若AX?0有非零解 ，则AX?b有无穷多解 (C) 若AX?b有无穷多解 ，则AX?0仅有零解 (D) 若AX?b有无穷多解 ，则AX?0有非零解
?x1?x2?x3?1?11．线性方程组?x1?2x2?3x3?0 （ ）
?4x?7x?10x?123?1(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只有零解
二、填空题
1.设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为____ ___ ?a1b1?2.非零矩阵?a2b1????ab?n1a1b2a2b2?anb2?a1bn???a2bn?的秩为___ _____ ?????anbn??3. 若线性方程组Am?nX?b的系数矩阵的秩为m，则其增广矩阵的秩为 . 4. 设
1??12?1??x1???????A??23a?2?,b??3?,x??x2??1a?2??0??x??????3?，若齐次线性方程组AX?0只有零解，则
a? . 1??12?1??x1???????5. 设A??23a?2?,b??3?,x??x2?，若线性方程组AX?b无解，则a? .
?1a?2??0??x??????3?8