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y2?2z2上平行于平面2x?2y?4z?1?0的切平面方程． 69．求曲面x?270．求函数z?x3?4x2?2xy?y2的极值。 71. 求函数z?e2x(x?y2?2y)的极值。
72．求函数z?xy在条件x?y?1下的极值．
73. 求z?x2?y2?xy?x?y在区域D：x?0,y?0,x?y?3上的最值. 四、证明题
?xy2,?74．设f(x,y)??x4?y4?0,?但不连续．
222x4?y4?0x4?y4?0，证明函数f(x,y)在(0,0)处偏导数存在，
?2r?2r?2r275．设r?x?y?z，证明2?2?2?．
r?x?y?z76．证明由方程?(cx?az,cy?bz)?0（?(u,v)具有连续的偏导数，a，b，c为常
?z?z数）所确定的函数z?f(x,y)满足关系式a?b?c．
?x?y五、应用题。
77．建造容积为一定的矩形水池．问怎样设计，才能使建筑材料最省．
78．求内接于半径a的球且有最大体积的长方体．
79．在椭圆x2?4y2?4上求一点，使其到直线2x?3y?6?0的距离最短．
xyz80.求平面???1和柱面x2?y2?1的交线上与平面xoy距离最短的点.
34581. 求函数u?x2?y2?z2在条件z?x2?y2,x?y?z?4下最大值和最小值.
（五）二重积分
1. 若
I1???ln(x?y)d?,I2???(x?y)2d?,I3???(x?y)d?DDD其中D是由
x?0,y?10x,?y?2,x?y?1,则( ). 所围成的区域
(A) I3?I2?I1 (B) I1?I2?I3 (C) I1?I3?I2 (D) I3?I1?I20 2. 若区域D?{(x,y)||x|?2,0?y?x2}, 则??xy2d?的值=( )
D(A) 256 (B)
?3264 (C) (D) 0 33f(rcos?,rsin?)rdr可化为( )
3. 累次积分?2d??0cos?0 21
(A)
1?010dy?0y?y20f(x,y)dx (B)
?10dy?1?y20f(x,y)dx (C)
?10dx?f(x,y)dy
01(D)?dx?x?x2f(x,y)dy
D4. 若区域D?{(x,y)||x|?|y|?1}, 则??ln(x2?y2)d?的值( )
(A)小于0 (B) 大于0 (C) 非正数 (D) 偏导数存在 5. 不作计算,估计I???e(xD2?y2)d?取值的范围是 ,其中D是椭圆闭区域：
x2y2?2?1,(0?b?a). 2ab6. 比较积分大小，??ln(x?y)d? ??[ln(x?y)]2d?,其中D是三角形闭区域,三
DD顶点各为(1,0),(1,1),(2,0). 7. 比较积分大小，
??ln(x?y)d? D2[ln(x?y)]d?,其中D是矩形闭区??域:3?x?5,0?y?1.
8. 当函数f(x,y)在闭区域D上___________时,则其在D上的二重积分必定存在. 9. 设对闭区域D任意点(x,y),有f(x,y)?0，则积分??f(x,y)d?的几何意义是
D______________________.
10.将??f(x,y)d?化为直角坐标系下的累次积分： ,其中D
D是由y?x,y?4x2所围成的闭区域.
11.将??f(x,y)d?化为直角坐标系下的累次积分： ,其中D
D是由y?x,y?2及y?1所围成的闭区域. x12.将??f(x,y)d?化为极坐标系下的累次积分： ,其中
DD?{(x,y)|1?x2?y2?4}.
13.将??f(x,y)d?化为极坐标系下的累次积分： ,其中
DD?{(x,y)|x2?y2?2x} 14.改变积分?dx?011?x0f(x,y)dy的次序 . 15.改变积分?dx?0D12x?x20f(x,y)dy??dx?122?x0f(x,y)dy的次序 . 16.写出积分??f(x,y)dxdy的极坐标二次积分形式 ,
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其中积分区域D?{(x,y)|1?x?y?1?x2,0?x?1}.
17.将二重积分??f(x,y)d?,其中D是由x轴及半圆周x2?y2?r2(y?0)所围成的
D闭区域,化为先对y后对x的二次积分,应为_____________________.
118.将二重积分??f(x,y)d?,其中D是由直线y?x,x?2及双曲线y?(x?0)所围
xD成的闭区域,化为先对x后对y的二次积分,应为__________________________. 19.将二次积分?dx?122x?x22?x2f(x,y)dy改换积分次序,应为_______________________. f(x,y)dx??1?2120.将二次积分
??2dy?e101?lnydy?2(y?1)2f(x,y)dx改换积分次序,应为
__________________________. 21.交换积分次序?dy?D2?y2yf(x,y)dx? . 22.计算??(x3?3x2y?y3)d?, 其中D:0?x?1,0?y?1. 23.计算??Dyd?, 其中D是由y?x,y?2x,x?2,x?4所围平面闭区域. x124.计算??xyd?, 其中D是由y?0,y?,x?1,x?2所围平面闭区域.
xD25.求??(x2?y)dxdy,其中D是由抛物线y?x2和x?y2所围平面闭区域.
D26.求??xeD2?y2dxdy,其中D是以(0,0),(1,1),(0,1)为顶点的三角形.
yyx1yyx27.计算I??1dy?1edx??1dy?edx.
42212y28.计算??e?xD2?y2dxdy,其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.
29.计算??xcos(x?y)d?,其中D是顶点分别为(0,0),(?,0),(?,?)的三角形闭区
D域.
30.??ex?yd?,其中D是由x?y?1所确定的闭区域.
D31.??(x2?y2?x)d?其中D是由直线y?2,y?x及y?2x所围成的闭区域.
D32.计算??(x2?y2)dxdy,其D为由x2?y2?2y,x2?y2?4y及直线x?3y?0,y?3x?0D所围成的平面闭区域.
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33.计算二重积分??Dsin(?x2?y2)x2?y2dxdy,其中积分区域为D?{(x,y)|1?x2?y2?4}.
34.计算??(4?x?y)dxdy,其中D为圆域x2?y2?2y.
D35.计算??x2?y2dxdy,其中D为圆域x2?y2?a2.
D36.计算??Dy?x2dxdy,其中D:?1?x?1,0?y?2.
37.计算??xsinDydxdy,其中D为由y?x,y?0,x?1所围成的区域. x38.计算??xydxdy,其中D为由y?x?4,y?2x2所围成的区域.
Dy39.计算?dy?xsindx.
0yx1140.计算??xe?ydxdy,其中D是由y?4x2,y?9x2在第一象限所围成的区域.
D241.计算??(x?y)dxdy,其中D是由y?|x|,y?2|x|,y?1所围成的区域.
D42.计算??xdxdy,其中D?{(x,y)|x2?y2?x}.
D43.计算??|x2?y2?4|dxdy,其中D?{(x,y)|x2?y2?9}.
D?x2y,若1?x?2,0?y?x44.设f(x,y)??计算??f(x,y)dxdy,其中D?{(x,y)|x2?y2?2x}.
0,其他?D45.计算?dx?e?ydy.
0x22246.计算?dy?1edx??1dy?edx.
42y1214yyx1yyx47.计算??x2?y2d?,其中D?{(x,y)|x2?y2?2x,0?y?x}.
D48.计算??xyd?,其中D是由直线y?1,x?2及y?x所围成的闭区域.
D49.计算??xyd?,其中D是由直线y?x2及y?x?2所围成的闭区域.
D50.计算??y1?x2?y2d?,其中D是由直线y?x,x??1及y?1所围成的闭区域.
D51.计算??eD?x2?y2dy,其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域.
52.求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.
53.求由下列曲面所围成的立体体积,z?x?y,z?xy,x?y?1,x?0,y?0.
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