发布时间 : 星期日 文章量子跃迁理论更新完毕开始阅读
??Hmk222?mk2ei?mk?t?tt??02
??Hmk22?mk2?ei?mk?t?1?e?i?mk?t?1
?????Hmk2?2mk?1?ei?mk?t?e?i?mk?t?1
???Hmkei?mk?t?e?i?mk?t?22?2?2??mk?2??2Hmk222?? ??2mk2??1?cos??mkt??? ?sin2??4Hmk22?mk?mkt2
即跃迁几率为
?Hmk22sin2??mkt(9.2.1)
Wk?m?2
2??mk????2?1???m?r?H??t??k?r?其与实践无关，?mk?其中，Hmk?Em?Ek?。当t??时，物理上要求微扰作用时间足够长，即微扰作用时间t要远大于体系的特征时
间?，在这个时间里，体系的状态没有明显的变化。因此，此时间段内两分立态间的跃迁几率为：
?Hmk22Wk?m?am?t??2sin2??mkt22?t?sin2?limt????mk???2???t
???tHmk22?mkt22????t?mk??2????tHmk22?????mk?2?? ? 9
2?2?tHmk?????mk??2??? 2??2?tHmk???Em?Ek???1其中，?mk??Em?Ek?，则t??时两个分立能级间的跃迁速率为：
wk?m?dWk?m2?Hmk?????Em?Ek?
dt2(9.2.2)
其中，Em?Ek,????????Em?Ek???。从上述讨论可以看出，常微扰作用下，
t??时，跃迁速率与时间无关，跃迁过程遵循能量守恒定律，只有末态能量Em近似等于初态能量Ek的跃迁，跃迁几率才显著不等于零，而对于初末态能量相同的跃迁，粒子弹性散射的初末态正好符合此特点。式中?函数的出现表达了量子力学中的能量守恒。然而，在实际问题中，初末态能量相同的情况很少见，多数跃迁的末态都是一系列能量接近的可能末态，即连续谱，如弹性散射问题。因此，我们需要讨论t??时，从初态Ek跃迁到一系列可能末态Em??Ek?（连续末态）的跃迁速率。我们已求得从一条初态能级?k到一条末态能级?m的跃迁几率，对于末态是连续谱的情况（相当于有无穷多条末态），这时求从一条初态?k跃迁到简并的连续能谱末态的几率（实验上是测量Em能级各简并态上的总几率）等于从初态跃迁到所有每条能量接近初态能量的末态的几率之和，在数学上积分要对上述结果进行积分。设dm为在能量Em附近的dEm（Em?Em?dEm）能量范围内末态的状态数目，??m?为（末态能量非常接近时的）态密度，表示单位能量间隔内连续末态的状态数目。即??m??dm，dm???m??dEm，因此，从dEm初态Ek跃迁到Em?Ek附近一系列可能末态的跃迁几率为：
Wk?m??am?t???am?t?dm??m22????am?t???m?dEm
??2(9.2.3)
由于?mk?Em?Ek，d?mk?dEm，同时利用???f?x???x?x??dx?f?x?和
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?????f?x???x?dx?f?0?得
Wk?m???????2?tHmk22
???????mk???m?dEm22?t (9.2.4)
?????m????mk?d?mkHmk分别为?mk的连续函数，即跃迁几率为
或写作Wk?m?
2?t2Wk?m????m?HmkEm?Ek2?t???m?Hmk?2mk?0 (9.2.5)
，跃迁速率为：
(9.2.6)
2wk?m?dWk?m?2?t2???m?? ??Hmk?dt??Em?Ek?和态密度从上式可以看出，跃迁基本上在等能量的态间跃迁，且正比于Hmk??m?，此公式应用很广，人们习惯称之为Fermi黄金规则（golden rule）.
?m,Em 一个确定末态
Em?Ek
?k,Ek 能级分立谱
一个确定初态
一系列能量接近的可能末态（连续谱）
Em?Ek
在Ek上下
连续分布
dm
?k,Ek 末态能级连续谱
一个确定初态
2、周期性微扰：
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?0,?????????????t?0???t???假设微扰H，从t?0开始作用于体系，为方便讨论，我????Acos?t,??t?0???t?写成指数形式 们将H??0,?????????????????????????t?0? H??t????i?t?i?tFe?e,????t?0???? (9.2.7)
?A??的第k个本征态?和第m个本征式中F?，是与时间无关的微扰算符。在Hk02态?m之间的微扰矩阵元是
?????ei?t?e?i?t???F?? ???mHHmkkmk(9.2.8)
则立初态?k跃迁到t时刻的分立末态?m的跃迁几率为：
Wk?m?am?t?21?i1?i?H?e0mkt2i?mk?t?dt?
2?t0Fmk?ei?t??e?i?t??ei?mk?t?dt?
ti??mk???t?i??mk???t?2F?mkie???0?e?dt?
?2Fmk?ei??mk???t?1ei??mk???t?1????? i?i??mk???i??mk???? ?Fmk22?e?1e?1 ?i??mk???i??mk???i??mk???ti??mk???t2(9.2.9)
一般来说，如果外来微扰是角频率为?（??0）的单色光波，对可见光来说，?的数量级1015（大数），又因为?mk???0时，上式中分子为振荡函数，分子在0与2间周期变化，说明末态只受到微扰的影响，却没有跃迁，则只有分母接近于零时，????mk（共振跃迁）跃迁几率才显著不为零。当
???mk?1?Em?Ek??0，即Em?Ek??，即Em?Ek，相当于吸收能量?，
上式右边第二项的分子分母都等于零。利用数学分析中的罗必塔法则，同时将分子与分母对??mk???求微商，可以得出这一项与t成正比。由于第一项为振荡函
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