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Equation Chapter 9 Section 1 §9.1 含时微扰理论（量子跃迁理论）
?不含时间，第八章讨论了分立能级的能量和波函数的修正，所讨论体系的H因而求解的是定态薛定谔方程。本章主要讨论体系哈密顿算符含有时间的微扰理论。 1、适用情况
?和H??t?由H???t?这两部分组成： 体系H0
??t??H??H???t? H0(9.1.1)
?为与时间无关，无微扰哈密顿算符，其本征值与本征函数为已知，本征其中H0???r??E方程为H?0nn?n?r,t???n?r??ei?Ent?n?r，
En为分立能级，第n个定态波函数为
????r,t?。???t?显含时间，?n?r,t??HH0n?t，薛定谔方程为i???t?\且要求H?，并且H??t?随时间变化，此时体系能量不是守恒量，体系\H0不存在严格的定态。此时求解定态薛定谔方程是很困难的，要求解含时薛定谔方程
i???t???r,t? ??r,t??H?t(9.1.2)
这时体系能量随时间变化，我们不再讨论能量，主要讨论跃迁几率 2、跃迁几率与跃迁几率（振）幅
?的本征函数系??r?完全展开 t时刻将??r,t?按Hn0??r,t???cn?t??n?r?n
??an?t??enni?Ent??n?r?
(9.1.3)
??an?t???n?r,t??的定态波函数相当于选取了能量表象。上式相当于将体系波函数??r,t?按H0
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?n?r,t?做完全展开，展开系数an?t??n?r,t???r,t?。根据展开假设
cn?t??an?t?e22i?Ent?an?t?，表示t时刻，测量能量值为En的几率。即体系
22??n?r,t???r,t?即?n?r,t???n?r?e2，处于?n?r?态的几率。同理，处于?m?r?态的几率为am?t?，
i?Ent?）体系处于H?假设t?0,t?0（原来无微扰，）初态（H00i?En0的第k个本征态?k?r,0???k?r??e???t?的??k?r?。这时（t?0）加入微扰H??H??t??H???t?的作用下，作用，在H在t时刻（经时间t的作用）体系处于?n?r?02???t?的作用：是使体系由初态??r?变成了体系态的几率为an?t?。显然微扰Hk的另一个态?m?r?态，这个过程称为跃迁。跃迁几率为am?t?。跃迁几率Wk?m是
2???t?的作用下从t=0的初态?跃迁到t时刻的末态?态的几率，指体系在H它等于km体系处于?m的几率。Wk?m?am?t?，am?t?称为跃迁几率振幅或几率幅，含时微扰论主要就是求跃迁几率问题，即求am?t?，称为跃迁几率振幅或几率幅。跃迁速率wk?m?dWk?m，即单位时间的跃迁几率。 dt2跃迁问题的实质就是在给定的初始条件下，经过一段的微扰作用，求解薛
?（不显含时定谔方程，求出体系从初态到末态的跃迁几率。即体系开始处于H0?另一???t?微扰作用，求t时刻体系处于H间）的某本征态?k，t?0开始施加H0个本征态?m的几率。然后谈一下与不含时微扰的区别，含时微扰主要讨论从初态的无微扰情况，经t时间的微扰作用跃迁到末态的情况；定态微扰主要讨论一直在微扰作用下能级的情况，不讨论从无微扰到有微扰的变化过程。 3、几率幅方程
将??r,t?按?n?r,t?的展开式(9.1.3)代入含时薛定谔方程(9.1.2)式，可得
i???t???a?t???r,t? an?t???n?r,t??H?nn?tnn整理得：
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dan?t???n?r,t?????i???n?r,t???an?t?????an?t??H0?n?r,t???an?t?H??t???n?r,t?dt?tn?n?n其中i????r,t?，因此上式变为 ?n?r,t??H0n?ti??n?r,t?ndan?t????t???r,t? ??an?t?Hndtn以?*然后对全空间积分。相当于以?m?r,t?与上式做内积，m?r,t?左乘上式两边，得到
idan?t????t???r,t? ?m?r,t??n?r,t???an?t??n?r,t?H?ndtnn对空间积分，时间部分可提出，因此，上式可整理成
iidan?t??Em?En?t???t???r?e?Em?En?t i??m?r??n?r??e??an?t??n?r?Hndtnnidam?t??Em?En?t??e则几率幅方程为i ??an?t?Hmndtn令?mn?1?Em?En?或Em?En??mn，根据物质波E??，显然?mn有频率的量
纲，所以?mn玻尔频率（体系从En能级跃迁到末态Em能级的频率），该方程是薛定谔方程的等价形式，能量表象中的薛定谔方程。其中：跃迁的玻尔频率：
?mn?1?Em?En?，跃迁的微扰阵元
*???t???r?d? ???m?r?H??t??n?r????mHmn?r?Hn??是否为微扰，几率幅方程均成立。 到目前为止，并无近似，无论H4、用含时微扰论求跃迁的一级近似解
为了得到体系在微扰作用下从初态跃迁到末态的几率，需要解几率幅方程。
idam?t??ei?mnt ??an?t?Hmndtn?的本征函数或能级有少数几个时（m,n小）这是一个无近似的精确方程，只有H0??为微扰小量，可以用微扰论逐级近似求近勉强可求解，否则不能精确求解。H
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??为小量，略去H?，得零级近似方似解，即迭代法。首先在几率幅方程中，Hmn??dam?t??0，可求出几率幅的零级近似?0?。其次，将已求出的零级近似程iam?t?dt0?0?几率幅am?t?（作为已知）代入原几率幅方程右边，得一级近似方程??dam?t??a?0?tH?ei?mnt，可求出几率幅的一级近似a?1?t。再次，将求出i?n??mnm??dtn1?1?的am?t?作为已知，再代入原几率幅方程的右边，得二级近似方程??dam?t??a?1?tH?ei?mnt，可求出几率幅的二级近似a?2?t。最后i级近似i?n??mnm??dtn2??dam?t??a?i?1?tH??ei?mnt，
?足够小，方程为i可以证明，只要Hmn且i??时，??mn?ndtni?i??i?1?将有am?t??am?t?，从而得到方程得精确解。
?的第k个本征态?上，初态设方程的初始条件为，体系在t?0时处于Hk0??r,t???an?t???n?r,t?，即??r,0???an?0??n?r,0??enni?En0??k?r,0?，所以
初态t?0，an?0???nk，n?1,2k（n可以改为m），只有处于?k态的几率为1，
处在其它态?n?n?k?态的几率都为0。由于微扰是在t?0时才加入的，所以不可
?i?t?0 时，能马上（立即）就影响到体系的状态。因此，几率幅的各级近似am?t?0??i?都与t?0的初态相同，即：am?t?0??am?0???mk，m?1,2t0k。则方程的零级
???0??0?近似解为?dam?t???0?am?t??am?0???mk，其与时间无关。由于零级近似方
0??的作用，所以体系不会发生跃迁，这不是我们要讨论的物理过程一程略去了H般含时微扰论只讨论到一级近似方程就足够了，（除非一级跃迁被禁戒，即几率为0，才讨论二级跃迁方程）主要套一级跃迁近似方程。一级近似解为
?0?an?t??an?0??0???nk，代入一级近似方程得
??dam?t?????H??ei?mnt?H??ei?mkt i?nkmnmkdtn1 4