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6.1 平方根、立方根(4)复习活动案(定稿)
主备人:屠恩连
1．了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根．
2．能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题． 3．知道开方是乘方的逆运算，会用开方求某些非负数的平方根． 4．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题．
1．平方根
(1)平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，
222
也叫做二次方根．换句话说，如果x＝a，那么x叫做a的平方根，例如2＝4，(－2)＝4，则4的平方根是＋2和－2(也可合写为±2)，＋2和－2都是4的平方根．
(2)平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
(3)平方根的表示：正数a有两个平方根，一个是a的正的平方根，记作“a”，读作“根号a”，另一个是a的负的平方根，记作“－a”，读作“负根号a”，这两个平方根合起来可记作“±a”，读作“正、负根号a”，其中a叫做被开方数．
【例1－1】求下列各数的平方根：
36?3?2．
(1)0.64；(2)；(3)?－?
25?2?
2
解：(1)∵(±0.8)＝0.64，∴0.64的平方根是±0.8．
366?6?236
(2)∵?±?＝，∴的平方根是±.
255?5?25
?3?2?3?2
(3)∵?±?＝?－?，
?2??2?
3?3?2
∴?－?的平方根是±.
2?2?
【例1－2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由． 252．(1)；(2)0；(3)－4；(4)－0.49；(5)(－3) 16
2525
解：(1)因为是正数，所以有两个平方根．
1616
255?5?225
由于?±?＝，所以的平方根是±. 164?4?16
(2)0只有一个平方根，是它本身．
(3)因为－4是负数，所以－4没有平方根．
(4)因为－0.49是负数，所以－0.49没有平方根．
(5)因为(－3)＝9，所以(－3)为正数，有两个平方根．由于9的平方根是±3，所以(－2
3)的平方根是±3．
2．算术平方根的概念
2
正数a的正的平方根a叫做a的算术平方根.0的算术平方根是0.因此如果x＝a，那么正数x叫做a的算术平方根．
平方根与算术平方根的区别与联系
(1)区别：①表示方法不同：正数a的平方根表示为±a；正数a的算术平方根表示为a.
②个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的算术平方根只有一个．
③性质不同：一个正数的平方根有两个，可以是负数；一个非负数的算术平方根一定是非负数．平方根等于本身的数只有一个数，这个数是0；算术平方根等于本身的数有两个：0和1．
(2)联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一个；平方根和算术平方根都只有非负数才有．负数没有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0.
【例2】求下列各数的算术平方根：
7
(1)196；(2)1；(3)16.
9
解：(1)196＝14．
7164
(2)1＝＝.
993
(3)因为16＝4,4的算术平方根是2，所以16的算术平方根是2．
3．开平方
求一个数的平方根的运算叫做开平方． 【例3】求下列各式中未知数的值：
22
(1)x＝25；(2)(2a＋3)＝16．
2
解：(1)因为(±5)＝25， 所以x＝±5．
2
(2)因为(±4)＝16， 所以2a＋3＝±4．
1
当2a＋3＝4时，解得a＝. 2
7
当2a＋3＝－4时，解得a＝－.
2
17
故所求a的值是或－.
22
4．立方根
(1)立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根(也
3
叫做三次方根)．也就是说，如果x＝a，那么x叫做a的立方根．
3
(2)立方根的表示方法：数a的立方根记为“a”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数，这里的根指数“3”不能省略．
【例4】求下列各数的立方根：
3
(1)27；(2)－27；(3)3；(4)－0.064；(5)0；(6)－5．
8
33
解：(1)因为3＝27，所以27＝3． 33
(2)因为(－3)＝－27，所以－27＝－3．
22
3333?327327?(3)因为3＝，而??＝，所以3＝.
8882?2?8
3
(4)因为(－0.4)＝－0.064， 3
所以－0.064＝－0.4． 33
(5)因为0＝0，所以0＝0.
3
(6)－5的立方根是－5. 5．开立方
求一个数的立方根的运算叫做开立方． 【例5】解方程：
33
(1)125x－27＝0；(2)(5x－3)＝343．
3
解：因为125x－27＝0，
2733
所以x＝.故x＝. 1255
3
(2)因为(5x－3)＝343，
3
所以5x－3＝343＝7， 即5x＝10．故x＝2． 6．立方根的性质
正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0. (1)立方根的符号与被开方数的符号一致； (2)一个数的立方根是唯一的； 333333
(3)－a＝－a，a＝a，(a)＝a. ．
6．用平方根与立方根的定义及性质解题
已知一个数的平方根或立方根求原数是利用平方根与立方根的定义及性质解题中的常见题型．
(1)一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为零． 33
(2)对于立方根来说，任何数的立方根只有一个，根据立方根的定义可知，－a＝－a，也就是说，求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可．
(3)当两个数相等时，这两个数的立方根相等．反之，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等．这与平方根不同，在平方根的计算中，若两数的平方根相等或互为相反数时，这两个数相等；若这两个数相等时，则两数的平方根相等或互为相反数．
【例6】已知2x－1和x－11是一个数的平方根，求这个数．
解：根据平方根的定义，可知2x－1和x－11相等或互为相反数．
2
当2x－1＝x－11时，x＝－10，所以2x－1＝－21，这时所求的数为(－21)＝441；
2
当2x－1＋x－11＝0时，x＝4，所以2x－1＝7，这时所求的数为7＝49． 综上可知，所求的数为49或441．