发布时间 : 星期日 文章历届高考数学真题汇编专题4_数列_理(2007-2017)更新完毕开始阅读
（1）若a?1，求数列?an?的通项公式； （2）若数列?an?唯一，求a的值.
15. (2017年高考湖南卷理科16)对于n?N，将n表示为
?n?a0?2k?a1?2k?1?a2?2k?2?????ak?1?21?ak?20，当i?0时，
ai?1，当1?i?k时，ai为0或1.记I?n?为上述表示中ai为0的个数（例如：1?1?20，
4?1?22?0?21?0?20，故I?1??0，I?4??2），则（1）I?12?? ；（2）
?2??? .
Inn?1127答案：I?12??2; ?2I?n??1093
n?1127解析：（1）由题意知12?1?23?1?22?0?21?0?20，所以I?12??2；
I（2）通过例举可知：
?1??0，I?2??1，I?4??2，I?8??3，I?16??4，I?32??5，I?64??6，
I?128??7，且相邻之间的整数的个数有0，1，3，7，15，31，63.它们正好满足“杨辉三角”
中的规律： 从而
I?n?0122?(1?1?1?1?1?1?1)?2?(1?2?3?4?5?6)?2?(1?3?6?10?15)?2 ?n?1127?(1?4?10?20)?23?(1?5?15)?24?(1?6)?25?1?26?1093.
评析：本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背景，着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”中的规律的理解和运用. 16. (2017年高考广东卷理科20)设b?0,数列?an?满足a1=b,an?(1) 求数列?an?的通项公式；
nban?1(n?2),
an?1?2n?2bn?1(2) 证明：对于一切正整数n,an?n?1?1
2
②当b?2时,An?
n. 2
?nbn(b?2),b?2? an??bn?2n?2,b?2?nbn(b?2)bn?1bn?1bn?2nn?n?1?1,只需证nb?(n?1?1) （2）当b?2时，（欲证an?） nnb?2b?222
(2n?1?bn?1bn?2n)?(2n?1?bn?1)(bn?1?2bn?2?b?2?2n?1)
?2n?1bn?1?2n?2bn?2?222?2b(?2?bbnn?22n?b2n?2b2n?1?b?) 2?2n?1bn?1
2nbnbn?1?n?n?n?1?b22
?2nbn(2?2??2)?2n?2nbn?n?2n?1bn，
nbn(b?2)bn?1?an?n?n?1?1.
b?2n2bn?1当b?2时,an?2?n?1?1.
2bn?1综上所述an?n?1?1.
2
17. (2017年高考湖北卷理科19)（本小题满分13分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1?a(a?0),an?1?rSn(n?N?,r?R,r??1) (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若存在k?N?，使得Sk?1,Sk,Sk?2成等差数列，试判断：对于任意的m?N?，且m?2，
am?1,am,am?2是否成等差数列，并证明你的结论.
本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想. 解析：
（Ⅰ）由已知an?1?rSn，可得an?2?rSn?1，两式相减可得an?2?an?1?r(Sn?1?Sn)ran?1
即an?2?(r?1)an?1又a2?ra1?ra，所以当r?0时，数列{an}为：a,0,…,0，…； 当r?0,r??1时，由已知a?0，所以an?0(n?N?) 于是由an?2?(r?1)an?1，可得
an?2?r?1(n?N?)， an?1?a2,a3.…,an,.…成等比数列，
当n?2时，an?r(r?1)n?2a 综上，数列{an}的通项公式为an???a,n?1 n?2r(r?1)a,n?2.?
18.(2017年高考重庆卷理科21)（本小题满分12分。（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 设实数数列?an?的前n项和Sn满足Sn?1?an?1Snn?N* （Ⅰ）若a1,S2,?2a2成等比数列，求S2和a3 （Ⅱ）求证：对k?3有0?an?1?an???4。 32?S2??2a1a22解析：（Ⅰ）由题意?，得S2??2S2，
?S2?a2S1?a1a2由S2是等比中项知S2?0，因此S2??2， 由S2?a3?S3?a3S2，解得，a3?S22? S2?13 （Ⅱ）证明：有题设条件有an?1Sn?an?1?Sn， 故Sn?1,an?1?1，且an?1?Sna,Sn?n?1 Sn?1an?1?1