发布时间 : 星期四 文章2019年山东省潍坊市中考数学试卷 解析版更新完毕开始阅读
即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
24．（13分）如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线上，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN． （1）当MN∥B′D′时，求α的大小．
（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．
【分析】（1）证明△AB′M≌△AD′N（SAS），推出∠B′AM＝∠D′AN，即可解决问题．
（2）证明△AEB′≌△AGD′（AAS），推出EB′＝GD′，AE＝AG，再证明△AHE≌△AHG（SAS），推出EH＝GH，推出B′D′＝2，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形AB′C′D′是菱形， ∴AB′＝B′C′＝C′D′＝AD′， ∵∠B′AD′＝∠B′C′D′＝60°， ∴△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形， ∵MN∥B′C′，
∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝60°，∠CNM＝∠C′D′B′＝60°， ∴△C′MN是等边三角形， ∴C′M＝C′N， ∴MB′＝ND′，
∵∠AB′M＝∠AD′N＝120°，AB′＝AD′， ∴△AB′M≌△AD′N（SAS）， ∴∠B′AM＝∠D′AN， ∵∠CAD＝∠BAD＝30°， ∠DAD′＝15°， ∴α＝15°．
（2）∵∠C′B′D′＝60°， ∴∠EB′G＝120°， ∵∠EAG＝60°，
∴∠EAG+∠EB′G＝180°， ∴四边形EAGB′四点共圆， ∴∠AEB′＝∠AGD′，
∵∠EAB′＝∠GAD′，AB′＝AD′， ∴△AEB′≌△AGD′（AAS）， ∴EB′＝GD′，AE＝AG， ∵AH＝AH，∠HAE＝∠HAG， ∴△AHE≌△AHG（SAS）， ∴EH＝GH，
∵△EHB′的周长为2，
∴EH+EB′+HB′＝B′H+HG+GD′＝B′D′＝2， ∴AB′＝AB＝2， ∴菱形ABCD的周长为8．
【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（13分）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点． （1）求圆心M的坐标；
（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4
时，求点P的坐标．
【分析】（1）利用中点公式即可求解；
（2）设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO＝＝
，则CD＝
＝10，即可求解；
，求出PE＝5，即可求解．
＝＝tanα，则sinα＝
，cosα＝
，AC
（3）利用cos∠PEH＝
【解答】解：（1）点B（0，4），则点C（0，2）， ∵点A（4，0），则点M（2，1）； （2）∵⊙P与直线AD，则∠CAD＝90°， 设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α， tan∠CAO＝AC＝
＝＝tanα，则sinα＝
，cosα＝＝10，
，
，则CD＝
则点D（0，﹣8），
将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得： 直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；
（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1， 将点B坐标代入上式并解得：a＝， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x+4， 过点P作PH⊥EF，则EH＝EF＝2
，
cos∠PEH＝解得：PE＝5，
设点P（x，x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8）， 则PE＝x2﹣3x+4﹣2x+8＝5， 解得x＝则点P（
或2（舍去2）， ，
）．
，
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．